а через m - найбільше значення u (x, t) на Г:
.
Припустимо, що існує таке рішення u (x, t), для якого M> m, тобто де не виконується умова теореми.
Нехай ця функція приймає значення М в деякій точці (x0, t0) є G + H; тобто u (x0, t0)=M.
Зауваження: всяка безперервна функція в замкнутій області досягає свого максимального значення. Достатньою умовою існування відносного мінімуму функції в точці x0 є (0; l) є :);
б);
тоді для максимуму:
);
б) не може бути f «» (X0)> 0; тобто .
Порівняємо знаки лівої і правої частин рівняння в точці М, де за припущенням u (x, t) досягає максимуму:; так як u (x0, t) досягає максимуму при t=t0, то.
Отримуємо, що в точці (x0, t0):.
Однак, це ще не є протиріччя, так як може дорівнювати 0.
Для повного докази знайдемо точку (x1, t1), в якій оцінка однієї з приватних похідних, що входять в рівняння матиме суворе нерівність.
Розглянемо допоміжну функцію:
(**)
Функція? (X0, t0)=u (x 0, t0)=M і значить, найбільше значення? (X, t) в? не менше, аніж М:
Але на кордоні Г для? (X, t) маємо (на Г max (x - x0))=l:
(так як m
Отже, функція? (X, t) також як і u (x, t) не приймає найбільшого значення на Г. Нехай? (X, t) приймає найбільше значення в точці (x1, t1) є G (внутрішня точка).
Згідно необхідним умовам максимуму в точці (x1, t1) для? (X, t) має бути:, т.е в точці (x1, t1):.
Тоді в цій же точці для функції u (x, t) з (**):
;
;
Тоді для функції u (x, t) в точці (x1, t1) отримуємо:
.
тобто рівняння (*) у внутрішній точці (x1, t1) є G не задовольняється.
Зауваження: при доказі спочатку ми не вимагаємо, щоб u (x, t) задовольняла рівнянню теплопровідності, ми тільки вивчаємо її поведінка (max і min) і показуємо, що, якщо максимум u (x, t ) досягається всередині G, то u (x, t) - не задовольняє рівняння.
Следствіе1. Якщо два рішення рівняння теплопровідності u1 (x, t) і u2 (x, t) задовольняють умовам:
; , То
для всіх.
Доказ: нехай? (X, t)=u2 (х, t) - u1 (х, t): f (x, t)=0, звідси u max, min;
, звідси ненегативний max досягається на кордоні, тоді в? u (x, t) - неотрицательна, тобто в G.
Следствіе2. Якщо три рішення рівняння теплопровідності? , U,?, Задовольняють умовам: при t=0; x=0; x=l, то ці нерівності виконуються тотожно, тобто (X, t) є?.
Доказ: застосовуючи следствіе1 спочатку до функцій u (x, t),? (x, t), а потім? (X, t) і u (x, t) одержимо необхідні співвідношення.
Следствіе3. Якщо для двох рішень рівняння теплопровідності u1 (х, t) і u2 (х, t) має місце:
для t=0; x=0; x=l, то тотож...
