а електронна щільність має піки і западини з періодом.
Початок використанню DFT методів в обчислювальній хімії поклало впровадження в розрахункову схему орбіталей, запропоноване Коном і Шемом. Основна ідея теорії Кона-Шема полягає в розділенні функціоналу кінетичної енергії на дві частини, перша обчислюється точно з використанням формально побудованих орбіталей, що відповідають системі невзаимодействующих електронів TS, друга являє собою поправочний член - корекцію (correction).
В даний час одним з найпотужніших методів обліку багаточастинкового взаємодії є теорія функціонала щільності (ТФП). У даній роботі досліджуються електронні властивості двовимірних квантових точок в перпендикулярному магнітному полі за допомогою ТФП. Очікується, що подібні системи в майбутньому знайдуть ряд практичних застосувань, таких як логічні нанопристрої і перемикачі.
3.1 Метод розрахунку
Надалі будемо використовувати атомну систему одиниць, в якій енергія виражається в одиницях, а довжина в одиницях, де - ефективна маса електрона, k - діелектрична проникність. Всі обчислення будуть проведені для КТ на основі GaAs, для якого k=12,4 і - маса вільного електрона).
Згідно ТФП повна енергія багатоелектронної системи в зовнішньому потенціалі є однозначний функціонал щільності електронів n (r)
(3.1)
де, - щільність електронів з даним напрямком спина, r=(x, y), - кінетична енергія невзаимодействующих електронів в магнітному полі напруженості В, яке задається векторним потенціалом.
Другий доданок у виразі (3.1) пов'язане із зовнішнім взаємодією і в двовимірному випадку задається виразом
, (3.2) де, (3.2)
Зовнішній потенціал створюється домішкою із зарядом z0 і позитивно зарядженим фоном щільності n +. Для КТ з N електронами величина R знаходиться з умови електронейтральності. У багатьох роботах утримує потенціал від позитивно зарядженого фону (перший доданок у формулі (3.2)) замінюється параболічним потенціалом, рівним. Дійсно, при малих r перший доданок у виразі (3.2) має квадратичну залежність від r, при цьому
, (3.3)
Кулонівська енергія має наступний вигляд
, (3.4)
, (3.5)
Четверте доданок у виразі (3.1) визначає зєємановський енергію
, (3.6)
де g - фактор Ланде, - магнетон Бора.
Труднощі ТФП полягає в тому, що вид обмінно-кореляційної енергії Exc [n] в загальному випадку невідомий. На практиці використовують різні наближення для обмінно-кореляційної енергії, і тому точність результатів зазвичай складає більше декількох відсотків. Надалі нами враховується тільки обмінна енергія і для неї використовується наближення локальної щільності (ПЛП)
, (3.7)
де - обмінна енергія на один електрон для однорідного електронного газу, яка для нижнього рівня Ландау має наступний вигляд
, (3.8)
тут L - магнітна довжина, - щільність m-го електрона зі спіном.
Слід зупинитися докладніше на формулі (3.7). У ПЛП компенсація самодії електронів обмінної і кулоновской енергії виявляється неповною. Коли число електронів звичайно і мало, необхідно виключити самодіюча електронів в обмінній і кулоновской енергії роздільно, що і зроблено у виразі (3.7).
Для GaAs величина g -Фактори мала (, тому внесок зєємановський енергії значно менше, ніж кулоновской і кінетичної енергії, тому у виразі (3.1) величиною нехтуємо.
Обчислення проводитимуться для магнітних полів, при яких зайнятий тільки нижній рівень Ландау. Варіюючи енергію (3.1) та враховуючи кругову симетрію, отримуємо рівняння Кона-Шема
, (3.9)
з ефективним одночасткову потенціалом
(r)=(r) -, (3.10)
де m - кутовий момент електрона,
,,
.
. 2 Результати та їх обговорення
Нелінійна система рівнянь Кона-Шема вирішувалася чисельно за допомогою методу ітерацій. Ітераційний процес тривав поки власні значення для всіх m величина на ітерації і (k + 1) ой ітерації не задовольняли умові, де для різних завдань величина змінювалося в межах від до. Проведено порівняння отриманих результатів з точними результатами Відмінності між результатами, отриманими з використанням ТФП, і точними результатами склало менше 5 відсотків, і були отримані ті ж магічні числа, як і в точних обчисленнях. Видно, що величина енергії, обчислена за допомогою ТФП, приблизно на 13% більше точної величини, а положення мінімумів енергії збігаються. Відзначимо, що облік кореляційної енергії зменшує повну енергію в ТФП.
Як правило, метод теорії функціонала щільності, використовується спільно з -формалізмом Кона Шема lt; # 33 src= doc_zip283.jpg / gt ;, що включа...
