ймовірність надходження протягом проміжку часу О”t більше одного вимоги, то Р> 1 (О”t) = О (О”t), де О (О”t) - дуже мала величина в порівнянні з О”t. У результаті вимоги приходять по одному. p> Відсутність наслідки полягає в тому, що число вимог, що надійшли в систему після деякого проміжку часу, не залежить від того, скільки їх прийшло до цього моменту. Доведено, що потік вимог можна вважати найпростішим, якщо він отриманий підсумовуванням досить великого числа не залежать один від одного потоків, вплив кожного з яких на суму рівномірно мале, і що найпростішим їх потік описується пуассоновским законом розподілу:
Рк (t) = О»tk/k! * l-О»t, де
Рk (t) - ймовірність того, що за довільно вибраний період часу t надійде k вимог;
l - математичне сподівання випадкової величини;
О» - щільність вхідного потоку, тобто середнє число вимог в одиницю часу.
Важливим показником процесу обслуговування вважається час, під яким розуміється інтервал між момент надходження вимоги в канал і моментом його виходу з каналу. Час може змінюватися, що пояснюється неповною ідентичністю приходять вимог, станом вимог, станом і можливістю обслуговуючих пристроїв. Час обслуговування в більшості систем слід розглядати як випадкову величину. В економічних процесах воно, найчастіше, розподілено за показовим законом:
f (t) = Ој * l-Ојt, де
Ој-середнє число вимог, обслужених в одиницю часу.
Тоді середня тривалість обслуговування буде дорівнює:
tобсл. = ∫ в€ћ 0t * f (t) dt = ∫ в€ћ 0t * Ој * l-Ојtdt = 1/Ој,
таким чином, задавши систему масового обслуговування за допомогою трьох (О»/Ој/n) або чотирьох (О»/Ој/n/m) шифрів, можна встановити основні операційні показники, характеризують ефективність роботи тієї чи іншої системи. Зокрема, середня число простоюють каналів, коефіцієнт завантаження каналів, середній відсоток обслуговуваних заявок, середній час очікування в черзі, середній час перебування заявки в системі обслуговування, середню довжину черги, середній дохід в одиницю часу і т.д.
2.2 Прийняття рішень з використанням моделей масового обслуговування
Труднощі використання стандартних моделей, розроблених в теорії масового обслуговування, можна подолати одним із таких способів. По-перше, можна модифікувати структурно-функціональні характеристики обслуговуючої системи так, щоб чисто логічним шляхом досягти бажаних операційних показників цієї системи і одночасно зробити розглянуту систему масового обслуговування піддається аналізу однієї із стандартних математичних моделей. По-друге, можна визнати справедливим деякі спрощують припущення щодо реальної обслуговуючої системи і, отже, можливо представити її за допомогою математичної моделі без ризику отримати суттєві помилки в чисельних оцінках операційних характеристик досліджуваної системи. Другий із зазначених способів являє собою більш перспективним, оскільки за рахунок його реалізації збільшується коло завдань, вирішення яких може бути забезпечено шляхом використання розроблених в теорії масового обслжіванія математичних моделей і методів.
Вибір того чи іншого методу для дослідження функціональних характеристик обслуговуючої системи незалежно від того, чи є він аналітичним або ж відноситься до категорії імітаційних, в кожному конкретному випадку визначається законом розподілу моментів надходження вимог і продолжительностей обслуговування.
Вартісні моделі масового обслуговування спрямовані на визначення такого рівня функціонування обслуговуючої системи, при якому досягається "компроміс" між наступними двома економічними показниками:
а) прибутком, що отримується за рахунок надання послуг;
б) втратами прибутку, зумовленими затримками в наданні послуг.
Розглянемо одноканальну модель масового обслуговування з середньою частотою надходження вимог, рівній l, і з середньою швидкістю обслуговування, рівній m. Передбачається. Що швидкість обслуговування піддається регулюванню; потрібно визначити її оптимальне значення на основі належним чином побудованої вартісної моделі. Введемо наступні позначення:
С1 - вирази в вартісній формі виграш за рахунок збільшення на одиницю значення m протягом одиничного інтервалу часу;
С2 - "ціна" очікування (Тобто обумовлені вимушеним очікуванням економічні втрати) в одиницю часу і в розрахунку на одну вимогу;
ТЗ (m) - вартісний показник, визначається формулою:
ТЗ (m) = С1m + С2LS.
Розглянемо Мультиканальна модель. Вартісна модель масового обслуговування в даному випадку повинна бути орієнтована на визначення оптимального числа обслуговуючих приладів, яке ми позначили вище через с. передбачається, що значення l і m фіксовані. Інтегральна вартість показників задається формулою
де
С1 - віднесені до одиниці часу витрати на забезпечення функціонування одного додаткового обслуговуючого приладу;
