елен над відповідним полем, то число изоморфизмов менше ступеня розширення. p> З цієї теореми відразу виходить кілька важливих наслідків. Насамперед теорема стверджує, що властивість кожного елемента ai бути сепарабельного над попереднім полем є властивість самого розширення S незалежно від вибору породжують елементів ai. Так як довільний елемент b поля може бути взятий в якості першого породжує, елемент b виявляється сепарабельного, якщо всі ai є такими. Отже:
Якщо до поля D послідовно приєднуються елементи ai, ... , An і кожен елемент ai виявляється сепарабельного над полем, отриманим приєднанням попередніх елементів a1, a2, ..., ai-1 то розширення
S = D (a1, ..., an)
сепарабельного над D. p> У Зокрема, сума, різниця, добуток і частка сепарабедьних елементів сепарабельного. p> Далі, якщо b сепарабелен над S, а полі S сепарабельного над D, то елемент b сепарабелен над D. Це пояснюється тим, що b задовольняє деякого рівняння з кінцевим числом коефіцієнтів a1, ... , Am з S і, отже, сепарабелен над D (A1, ..., am). Тим самим сепарабельного і розширення
D (a1, ..., am, b). p> Нарешті, має місце таке речення: числа изоморфизмов кінцевого сепарабельного розширення S над полем D одно ступеня розширення (S: D).
4. Нескінченні розширення полів.
Кожне поле виходить зі свого простого підполя за допомогою кінцевого або нескінченного розширення. У цій главі розглядаються нескінченні розширення полів, спочатку алгебраїчні, а потім - трансцендентні.
4.1. Алгебраїчно замкнуті поля
Серед алгебраїчних розширень заданого поля важливу роль грають, звичайно, максимальні алгебраїчні розширення, тобто такі, які не допускають подальшого алгебраїчного розширення. Існування таких розширень буде доведено в цьому параграфі. p> Щоб полі W було максимальним алгебраїчним розширенням, необхідно така умова: кожен многочлен кільця W [x] повністю розкладається на лінійні множники. Ця умова є і достатнім. Дійсно, якщо кожен многочлен в W [x] розкладається на лінійні множники, то все прості многочлени в W [x] лінійні і кожен елемент будь-якого алгебраїчного розширення W ' поля W виявляється коренем деякого лінійного многочлена x - a в W [x], тобто збігається з деяким елементом a поля W. p> Тому дамо таке визначення:
Поле W називається алгебраїчно замкнутим, якщо будь-який многочлен в W [x] розкладається на лінійні множники. p> Рівнозначне з цим визначення таке: поле W, алгебраїчно замкнуто, якщо кожен відмінний від константи многочлен з W [x] володіє в W хоч одним коренем, тобто хоч одним лінійним множником в W [x]. p> Дійсно, якщо така умова виконано і довільно взятий многочлен f (x) розкладається на нерозкладних множники, то всі вони повинні бути лінійними. p> В«Основна теорема алгебриВ» стверджує, що поле комплексних чисел алгебраїчно замкнуто. Наступним прикладом алгебраїчно замкнутого поля може служити поле всіх комплексних алгебраїчних чисел, тобто безліч тих комплексних ...
