а завдання. Структура матриці для такого вибору була представлена ​​вище (див. Малюнок 4). p> Вище вже було розглянуто один спеціальний способів вирішення системи (3.5), а саме - асиметричне блочне розкладання, який, проте, не привів до зменшення часу рішення. Так як інших спеціальних методів для розв'язання систем виду (3.5) невідомо, було прийнято рішення досліджувати стандартні методи рішення систем з вбраними матрицями і вибрати найбільш швидкі з них. Серед розглянутих методів були:
1. Прямі методи:
a. LDL розкладання (LDL)
b. LU розкладання (LU)
. Ітераційні методи:. Метод бісопряженних градієнтів (BICG). Квадратичний метод сполучених градієнтів (CGS). Симетричний LQ метод (SYMMLQ). Узагальнений метод мінімальний нев'язок (GMRES). Метод квазі-мінімальних нев'язок (QMR). Симетричний LQ метод (SYMMLQ)
Детальний опис перерахованих вище методів можна знайти, наприклад, в [8], [9], [11].
На графіках нижче представлені часи роботи алгоритму для деяких методів:
В
Малюнок 10. Час роботи SQP (тестова задача 4)
В
Малюнок 11. Час роботи SQP (тестова задача 5)
Грунтуючись на численних результатах часу роботи SQP алгоритму для різних методів розв'язання системи кроку SQP, було відібрано два найбільш швидких методу-LDL розкладання і метод бісопряженних градієнтів. Для цих двох методів далі проводилося додаткове дослідження з підбору їх параметрів для забезпечення мінімального часу роботи. p align="justify"> LDL розкладання - це розширення розкладання Холецкого для матриць не є позитивно визначеними. Формула розкладання має наступний вигляд:
,
де - діагональна матриця, - нижня трикутна, а - матриця перестановок.
Як і у випадку з методом Холецкого розкладання може призвести до збільшення кількості ненульових елементів в матриці щодо матриці, і щоб уникнути цього застосовують різні способи переупорядочивания елементів оригінальної матриці, такі як, наприклад, метод мінімальної ступеня (MD), метод наближеної мінімальної ступеня (AMD) і метод множинної мінімальної ступеня (MMD). Детальний опис LDL методу і методів мінімальному ступені можна знайти в [9] і [10] відповідно. p> Основним параметром методів переупорядочивания служить порогове значення, яке регулює баланс між чисельної стійкістю і числом ненульових елементів матриць розкладання.
На основі чисельних експериментів було підібрано значення параметра, так щоб зменшити час роботи всього алгоритму. На малюнку представлена ​​графічно залежність часу рішення системи від порогового значення. <В
Малюнок 12. Час вирішення системи залежно від порогового значення для тестової задачі 5
Результатом даного дослідження став вибір параметра.
