ізм, 2) функтор G повний, якщо і тільки якщо кожна компонента є морфізм і розщеплюється. Як наслідок, G повний і уніваленти, якщо і тільки якщо кожна компонента є ізоморфізмом. p> У доказі використовується наступна лема.
Лемма. Нехай - природне перетворення, індуковане стрілкою категорії А. тоді Мономорфность, якщо і тільки якщо f епіморфна. З іншого боку, епіморфно, якщо і тільки якщо мономорфна і розщеплюється (тобто має ліву зворотну стрілку). p> Зазначимо, що відповідність - це біекція з леми Йонеда.
Зауважимо також, що для будь-яких функторів природне перетворення епіморфно (відповідно, Мономорфность) в категорії, якщо і тільки якщо кожна компонента епіморфна (відповідно Мономорфность) в категорії В.
Доказ. Якщо. Тому перше твердження саме означає, що стрілка епіморфна. Якщо відображення епіморфно, то існує стрілка, для якої має ліву зворотну стрілку. Протилежне твердження очевидно. p> Тепер доведемо теорему. Застосуємо лему Йонеда до природного перетворенню (функція стрілок функтора G, потім пару)
В
Це перетворення визначається (покладемо з = а) чином стрілки, і це в точності - визначення коедініци є ізоморфізмом, тому дане природне перетворення епіморфно або Мономорфность, якщо кожне відповідно ін'ектівно або сюр'єктивно - інакше кажучи, коли функтор G відповідно уніваленти чи сповнений . Тепер залишається застосувати лему. p> Підкатегорія А називається рефлективної в категорії В, якщо функтор вкладення має лівий зв'язаний. Цей функтор F можна назвати рефлектором, а пару - реплікою категорії В в її підкатегорію А. оскільки функтор До завжди уніваленти, то коедініца сполучення? завжди є епіморфізм. Можна описати відображення в термінах композиції функторів дійсно, підкатегорія Рефлективне в В, якщо і тільки якщо існує функтор зі значеннями в А і біекція множин
В
Природна по і по. Можна також описати відображення в термінах універсальних стрілок: підкатегорія Рефлективне, якщо і тільки якщо для кожного існує об'єкт і стрілка, такі що кожна стрілка має вигляд для єдиної стрілки. Як звичайно, тоді R виявляється функцією об'єктів функтора (зі значеннями в А). p> Якщо повна підкатегорія Рефлективне в В, то за теоремою 1 кожен об'єкт ізоморфний FKa, і тому при всіх а.
подвійності, підкатегорія корефлектівна в В, якщо функтор вкладення має правий зв'язаний. p> Ось деякі приклади. Підкатегорія АЬ Рефлективне в категорії Grp. Справді, нехай G/[G, G] - факторгрупа по коммутантам групи G. Тоді hom (G/[G, G], A) hom (G, A), якщо група A абелева, і при цьому АЬ сповнена в Grp. Тепер розглянемо категорію всіх метричних просторів X, взявши в якості стрілок рівномірно безперервні функції. Повна (full) підкатегорія повних (complete) метричних просторів Рефлективне; рефлектор відображає кожне метричний простір в його поповнення. Далі, розглянемо категорію всіх цілком регулярних хаусдорфових просторів (стрілки - все безперервні функ...
