(і відразу слідом за нею) інтенсивність промислу різко скоротилася, то в улові збільшилася відносна частка хижих риб. Такий ефект прогнозували моделлю «хижак-жертва», запропонованої Вольтерра. Цю модель ми розглянемо нижче. По суті справи це був перший успіх математичної біології.
Вольтерра припустив за аналогією зі статистичною фізикою, що інтенсивність взаємодії пропорційна ймовірності зустрічі (вірогідності зіткнення молекул), тобто добутку концентрацій. Це і деякі інші припущення (Див. Популяційна динаміка ) дозволили побудувати математичну теорію взаємодії популяцій одного трофічного рівня (конкуренція) або різних трофічних рівнів (хижак-жертва ).
Системи, вивчені Вольтерра, складаються з декількох біологічних видів і запасу їжі, який використовують деякі з розглянутих видів. Про компонентах системи формулюються наступні допущення.
. Їжа або є в необмеженій кількості, або її надходження з плином часу жорстко регламентовано.
. Особини кожного виду відмирають так, що в одиницю часу гине постійна частка існуючих особин.
. Хижі види поїдають жертви, причому в одиницю часу кількість з'їдених жертв завжди пропорційно вірогідності зустрічі особин цих двох видів, тобто добутку кількості хижаків на кількість жертв.
. Якщо є їжа в необмеженій кількості і кілька видів, які здатні її споживати, то частка їжі, споживана кожним видом в одиницю часу, пропорційна кількості особин цього виду, взятого з деяким коефіцієнтом, залежним від виду (моделі міжвидової конкуренції).
. Якщо вид харчується їжею, наявної в необмеженій кількості, приріст чисельності виду за одиницю часу пропорційний чисельності виду.
. Якщо вид харчується їжею, наявної в обмеженій кількості, то його розмноження регулюється швидкістю споживання їжі, тобто за одиницю часу приріст пропорційний кількості з'їденої їжі.
Перераховані гіпотези дозволяють описувати складні живі системи за допомогою систем звичайних диференціальних рівнянь, в правих частинах яких є суми лінійних і білінійних членів. Як відомо, такими рівняннями описуються і системи хімічних реакцій.
Дійсно, відповідно до гіпотез Вольтерра, швидкість процесу відмирання кожного виду пропорційна чисельності виду. У хімічній кінетиці це відповідає мономолекулярної реакції розпаду деякої речовини, а в математичній моделі - негативним лінійним членам в правих частинах рівнянь. Згідно з уявленнями хімічної кінетики, швидкість бімолекулярний реакції взаємодії двох речовин пропорційна ймовірності зіткнення цих речовин, тобто добутку їх концентрації. Точно так само, відповідно до гіпотез Вольтерра, швидкість розмноження хижаків (загибелі жертв) пропорційна ймовірності зустрічей особин хижака і жертви, тобто добутку їх чисельностей. І в тому і в іншому випадку в модельній системі з'являються Білінійні члени в правих частинах відповідних рівнянь. Нарешті, лінійні позитивні члени в правих частинах рівнянь Вольтерра, що відповідають зростанню популяцій в необмежених умовах, відповідають автокаталитического членам хімічних реакцій. Така схожість рівнянь в хімічних та екологічних моделях дозволяє застосувати для математичного моделювання кінетики популяцій ті ж методи досліджень, що і для систем хімічних реакцій. Можна показати, що ...
