=. Ясно, що xn << i> yn , але xn = yn =0. Водночас цей приклад суперечить теоремі про граничний перехід під знаком несуворого нерівності замість xn << i> yn можна написати xn ? yn , а замість xn < yn можна написати xn ? yn . Тоді отримуємо
xn ? yn xn ? yn .
Наступні дві властивості випливають безпосередньо з теореми про граничний перехід у нерівності.
Следствіе1. Якщо всі члени послідовності невід'ємні, то межа послідовності є невід'ємне число.
Слідство 2. Якщо всі члени сходящейся послідовності непозитивні, то межа послідовності є непозитивним число.
Теорема 4. (О проміжної змінної або про двох постових).
Якщо xn = yn b і для всіх n справедливо нерівність xn ? yn? zn , то yn=b .
Доказ. Скористаємося визначенням границі «мовою?-N ». Візьмемо довільне? > 0. Так як yn = b , то, починаючи з деякого номера N , буде виконуватися нерівність | xn - b | < ?, Або що - те ж саме,
b -? < xn << / i> b +? (III)
Аналогічно, оскільки zn=b , починаючи, з деякого номера N буде виконуватися нерівність | zn - b | < ?, Або що - те ж саме,
b - ? << / I> zn << / i> b +? (IV)
Позначимо через N найбільший з номерів N , N , отримаємо, що для всіх n ? N буде виконано нерівності (III) і (IV). Скориставшись ними і заданим нерівністю xn ? yn ? zn, отримаємо
b -? < xn? yn ? << / i> b +?.
Отже, ми довели наступне:
(?> 0) ( N ) ( n? N) | yn - b | < ?,
а це означає, що yn = b . Що й потрібно було довести.
Ознаки існування границі послідовності
Вище було доведено, що будь-яка сходящаяся послідовність є обмеженою. Однак, не всяка обмежена послідовність має межу. Наприклад, обмежена послідовність 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, ... не має меж.
Однією з умов, що забезпечують існування межі, є монотонність обмеженою послідовності.
Приклад 1.
Послідовність,,, ...,, ... обмежена і зростає. Ця послідовність також сходиться:=1.
Приклад 2.
Послідовність 1,,, ...,, ... обмежена і убуває. Ця послідовність також сходиться:=0.
Таким чином, сукупність двох зазначених ознак (обмеженість і монотонність) є достатньою умовою збіжності послідовності. Тобто, справедливі наступні теореми.
Теорема 5. Якщо послідовність зростає (хоча б у нестрогому сенсі) і обмежена зверху, то вона сходиться.
Доказ. Згідно з умовою, послідовність xn обмежена зверху, всяке обмежене зверху безліч має верхню грань:
b =sup ( xn ).
Розглянемо довільну? - околиця точки b .
Так як b -? вже не є верхньою межею для безлічі xn, то знайдеться номер N ...
