х послідовностей;
d) ,, ...,, ... називається приватним (за умови, що всі елементи послідовності були відмінні від нуля) цих послідовностей.
1.4 Властивості границі послідовності
Теорема 1. Збіжна послідовність має єдиний межа.
Доказ. Нехай послідовність xn сходиться. Припустимо, що її межа не є єдиним, тобто що одночасно вірні рівності:
xn = b і xn = c , де b c.
Це означає, що всі члени послідовності, крім, можливо, кінцевого числа, лежать в будь-який околиці як точки b, так і точки с. Щоб прийти до протиріччя цієї пропозиції, виберемо непересічні околиці ( b -?, B +?) І ( з -?, З +?) точок b і c.
Рис. 2
За припущенням, обидві ці околиці містять всі члени послідовності, окрім кінцевого числа. Але тоді, починаючи з деякого номера N , всі члени послідовності мали б належати обом околицях. А це неможливо, так як околиці не мають спільних точок. Отримане протиріччя показує, що зроблене припущення невірно, і тому b=c.
Що й потрібно було довести.
Теорема 2. Якщо послідовність сходиться, то вона обмежена.
Доказ. Нехай xn = b . Скористаємося визначенням послідовності «мовою нескінченно малих». Маємо xn =b + an , де an - нескінченно мала послідовність. Стаціонарна послідовність b і нескінченно мала послідовність an є обмеженими, тоді й їх сума також обмежена, тобто xn - обмежена.
Що й потрібно було довести.
Теорема 3. (Про граничний перехід в нерівностях). Якщо послідовність xn і yn сходяться і xn? yn для всіх n, то
xn ? yn,
Доказ. Нехай xn = b , yn = з . Скористаємося визначенням границі «мовою?-N ». припустимо противне, що b> c . Виберемо? > 0, так щоб, виконувалася нерівність: з +? < b -?. Оскільки xn = b , то існує номер N , починаючи з якого виконується нерівність | xn - b | < ?, Або, що - те ж саме,
b -? < xn < b +? (I)
Рис. 3
Аналогічно, так як yn=c , то існує номер N , починаючи з якого виконується нерівність | yn - c | < ?, Або
с - ? << / I> yn < з + ? (II)
Позначимо найбільше з чисел N , N , через N . Тоді при n? N будуть виконані нерівності (I) і (II). Тому yn < з + ? < b -? << / I> xn, тобто xn > yn , що суперечить умові xn ? yn для всіх n . Таким чином, зроблене припущення невірно і, значить, b? c. Що і потрібно було довести.
Зауваження. Теорема 3 вірна тільки для нестрогих нерівностей: xn < yn, не випливає, що
xn < yn,
Розглянемо, наприклад, дві послідовності: xn =і yn ...
