або, що те ж,.
Якщо на нашій поверхні всюди має місце співвідношення, то всі крапки поверхні суть точки округлення і, отже, ми маємо сферу. Якщо візьмемо поверхню, відмінну від сфери і отримувати згинанням останньої, то на такій поверхні вочевидь повинні існувати точки, для яких. Обидві ці величини ми можемо вважати безперервними функціями; в силу замкнутості поверхні обидві величини і досягають на поверхні максимуму. Один з цих максимумів у всякому разі більше 1. Нехай, наприклад, величина досягає в точці максимуму, який більше 1. Тоді для деякої околиці точки ми маємо:, і величина в точці досягає мінімуму. Так як не є точкою округлення, то в околиці її існує правильна мережу ліній кривизни.
У силу співвідношення ми можемо замість формул (3) - (4) написати рівняння:
. (5)
Інтегруючи їх, ми отримаємо:
. (6)
Так як елементи дуги ліній кривизни і виражаються формулами,, то ми маємо, і формули (6) в силу співвідношень дають: в околиці точки.
Так як в точці величина досягає максимуму, а величина - мінімуму, то в цій точці повинні мати місце умови:
.
Формули (3) і (4) тоді дадуть нам:. (7)
Підставивши в формулу Гаусса
,
ми отримаємо для точки:
.
Права частина цієї формули в силу співвідношень (7) негативна, ліва ж згідно з нашим припущенням позитивна і дорівнює 1. Отже, припущення, що наша поверхню не сфера, призводить до протиріччя. Доказ завершено.
Отриманий результат можна сформулювати також наступним чином: всередині шматка поверхні постійної позитивної кривизни для точки, що не є точкою округлення, жоден з головних радіусів кривизни не може мати ні максимальної, ні мінімальної величини.
Якщо ж у поверхні сфери прорізати як завгодно мале отвір, то поверхня може бути зігнута.
. 5 Сфера як єдина овальна поверхню постійної середньої кривизни
Теорема, аналогічна попередньої, має місце і в тому випадку, якщо зажадати, щоб на поверхні замість заходи кривизни була постійною середня кривизна:
.
Ця теорема також доведена Лібманом. Замкнуту опуклу поверхню, яку ми будемо вважати усюди правильної та аналітичної і крім того усюди володіє позитивною мірою кривизни, ми будемо називати овальної поверхнею. Тоді теорема можна сформулювати наступним чином: сфера є єдина овальна поверхня, що має постійну середню кривизну.
Цю теорему можна звести до попередньої за допомогою прийому, зазначеного Бонне. Для цього необхідно попередньо встановити наступне пропозиція: серед поверхонь, паралельних деякій поверхні постійної позитивної кривизни, існує одна, середня кривизна якої постійна, і назад.
Нехай є поверхню, для якої, і нехай - одиничний вектор її нормалі. Тоді паралельна їй поверхня має середню кривизну. Дійсно, для ліній кривизни поверхні ми маємо відповідно до формул Родріга:
Лініям кривизни поверхні відповідають лінії кривизни поверхні, так як. Відповідні головні радіуси кривизни пов'язані співвідношенням. Тому в силу співвідношення ми маємо:
.
Доказ прямого твердження завершено.
Доведемо зворотне пропозицію, тобто серед поверхонь, паралельних деякій поверхні постійної середньої кривизни, існує поверхню, гауссова кривизна якої постійна.
Маємо овальну поверхню, середня кривизна якої задовольняє рівнянню, а - одиничний вектор її нормалі. Тоді паралельна їй поверхня має гауссову кривизну. Це випливає з наступних міркувань. Для ліній кривизни поверхні ми маємо відповідно до формул Родріга:
Лініям кривизни поверхні відповідають лінії кривизни поверхні, так як. Відповідні головні радіуси кривизни пов'язані співвідношенням. Тому в силу співвідношення ми маємо:
.
Доказ завершено.
Теорема про жорсткість сфери може бути у звуженому обсязі поширена на довільні овальні поверхні. Цьому поширенню ми теж зобов'язані Лібманом. Теорема звучить наступним чином: якщо зміна, якому піддається овальна поверхню має бути безперервним і ізометричним, то поверхня ця може тільки переміщатися як тверде тіло.
3. Сідлові поверхні
. 1 Основні поняття і властивості
Седлова поверхні у ві...
