fy"> A (f),
або, з урахуванням знака уявної частини:
B (f) = - (1/f) * A (f) = - (1 /) [A (v)/(fv)] dv. (1.2.16)
Аналогічно визначається і дійсна компонента спектра по уявної частини:
A (f) = (1/f) * B (f) = (1 /) [B (v)/(fv)] dv. (1.2.17)
Таким чином, реальна і уявна частини спектру фізично здійсненних (односторонніх) систем, а також і довільних каузальних сигналів, також пов'язані парою перетворень Гільберта. Вони дозволяють робити визначення будь, дійсною чи уявною, частини частотної характеристики каузальною функції шляхом згортки іншій її частині з функцією 1/f. br/>
1.1.3 Властивості перетворення Гільберта
Для будь-яких довільних функцій x (t) і y (t), що мають Фур'є - образи X (?), Y (?) і перетворення Гільберта (t) = Н [x (t)] і (t) = Н [y (t)], дійсні наступні характеристики:
Лінійність
Н [a Г— x (t) + b Г— y (t)] = a Г— (t) + b Г— (t)
за будь-яких постійних значеннях коефіцієнтів а і b для будь-яких довільних функцій x (t) і y (t).
Зрушення
H [x (ta)] = (ta).
Перетворення константи , а в силу лінійності перетворення, і постійної складової сигналу, дорівнює нулю. Це прямо випливає з непарності ядра перетворення Гільберта. Звідси випливає, що при перетворенні Гільберта з квадратурної складової виключається постійна складова.
Властивість парності і непарності визначається зрушенням всіх гармонік сигналу на/2, при цьому парні сигнали x (t) дають непарні сигнали (t), і навпаки. Це дійсно і для довільних сигналів щодо їх парних і непарних частин.
Послідовне подвійне перетворення Гільберта повертає початкову функцію із зворотним знаком
[H [x (t)]] = H [ (t)] =-x (t)
Це визначається тим, що при подвійному перетворенні всі гармоніки сигналу зсуваються на, що змінює їх знак. Однак у силу виключення з сигналу при першому перетворенні постійної складової, при подвійному перетворенні сигнал x (t) відновлюється з виключеним середнім значенням по інтервалу завдання. p align="justify"> Зворотне перетворення Гільберта , по суті, це друге перетворення в послідовному подвійному перетворенні Гільберта із зміною знака результату:
x (t) = H -1 [ ( t)] = - = (t) * (-1/t). (1.3.1)
Альтернативна форма обчислення x (t) з (t):
x (t) = TF -1 [(j sgn (f) Г— TF [ (t)]]. (1.3.1 ')
Подоба при зміні масштабу аргументу:
[x (at)] = (at).
Енергетична еквівалентність :
x 2 (t) dt = 2 (t) dt. (1.3.2)
Це випливає з теореми Парсеваля (енергія сигналу дорівнює сумі енергії всіх частотних складових сигналу) і рівності модулів спектрів сигналів x (t) і (t) (енергія сигналу не залежить від його фазочастотной характеристики).
Властивість ортогональності :
x (t) Г— (t) dt = 0. (1.3.3) ...
