ів
1.4 Графи як засіб навчання учнів пошуку вирішення завдань
Проблема навчання школярів пошуку вирішення математичних задач, є однією з найбільш важких в теорії і методики навчання математики. Проявляється вона насамперед у тому, що математично здатні учні не можуть знайти спосіб вирішення, знаючи весь необхідний для цього теоретичний матеріал.
Актуальним для кожного педагога є питання про те, які кошти використовувати при навчанні. Засоби навчання стали не тільки джерелом навчальної інформації, а й інструментом управління пізнавальною діяльністю школярів. Засоби навчання повинні сприяти засвоєнню основ наук, розвитку мислення, формуванню світогляду, вихованню учнів у дусі моральності. Вони повинні бути пристосовані до праці вчителя та учнів, забезпечувати застосування ефективних методів і прийомів роботи.
Вирішуючи завдання при вивченні елементів теорії графів, необхідно пам'ятати, що в кожному кроці, в кожному етапі її вирішення необхідно застосувати творчість. З самого початку, на першому етапі, воно полягає в тому, зуміти проаналізувати і закодувати умови задачі. Другий етап - схематичний запис, полягає в геометричному поданні графів, і на цьому етапі елемент творчості дуже важливий тому, що далеко не просто знайти відповідності між елементами умови і відповідними елементами графа. Всі інші етапи теж не обходяться без застосування творчості і винахідливості. Проведення пошуку способу і здійснення рішення задачі (з перевіркою і дослідженням) потребує наступних здібностях вирішальних: здатність абстрагування, здатність моделювання, здатність гнучкого застосування теорії графів, здатність застосування всіх відомих математичних способів вирішення. Безперечно, формулювання відповіді задачі це теж творче винахід, тому також необхідна та кодування і абстрагування.
Полегшення сприйняття та засвоєння учнями математичних знань може бути досягнуто розумним використанням різних засобів наочності - таблиць, креслень і малюнків і т. д.
Розглянемо деякі засоби наочності для навчання пошуку вирішення завдань по темі Елементи теорії графів [11,12,13].
Завдання 1. У селі 9 будинків. Відомо, що у Петра сусіди Іван і Антон, Максим сусід Івану і Сергію, Віктор - Дімі і Микиті, Євген - сусід Микити, а більше сусідів у цьому селі немає (сусідніми вважаються двори, у яких є загальний ділянку забору). Чи може Петро городами пробратися до Микити за яблуками?
Рішення. Намалюємо схему: точками позначимо будинку і з'єднаємо непересічними між собою лініями тільки ті з них, які є сусідніми (рис. 1.4.1). Тепер видно, що пробратися городами з дому Петра до будинку Микити можна.
Рис.1.4.1
Завдання 2. У трьох вершинах п'ятикутника розташували по фішці (ріс.1.4.2а). Дозволяється рухати їх по діагоналі у вільну вершину. Чи можна такими діями домогтися того, щоб одна з фішок повернулася на первісне місце, а дві інші помінялися місцями (ріс.1.4.2б)?
ріс.1.4.2a ріс.1.4.2б
Рішення. Зауважимо, що діагоналі п'ятикутника утворюють один замкнутий цикл. Уявімо собі, що фішки - це гудзики, нанизані на нитку (рис. 1.4.2в). Ясно, що якщо рухати ґудзики по нитці, то поміняти місцями два гудзики можна. Тому переставити фішки потрібним чином неможливо.
ріс.1.4.2в
Розв'язання цих двох зовні не схожих завдань об'єднує спільна ідея: графічне зображення умови. При цьому отримані картинки теж виявилися схожими: вони представляють із себе набір точок, деякі з яких з'єднані лінями.
Завдання 3. У місті Маленькому 15 телефонів. Чи можна їх з'єднати проводами так, щоб кожен телефон був з'єднаний з п'ятьма іншими?
Рішення. Припустимо, що це можливо. Розглянемо граф, вершини якого відповідають телефонами, а ребра - сполучає їх дротах. У цьому графі 15 вершин, ступінь кожної з яких дорівнює п'яти. Підрахуємо кількість ребер в цьому графі. Для цього спочатку підсумуємо ступені всіх його вершин. Ясно, що при такому підрахунку кожне ребро враховано двічі (див. Зауваження). Тому число ребер графа одно. Але це число неціле, а значить такого графа не існує, отже з'єднати телефони потрібним чином неможливо.
Зауваження. Кожне ребро з'єднує рівно дві вершини.
Завдання 4. На концерті кожну пісню виконували двоє артистів, і ніяка пара не виступала разом більше одного разу. Всього було 12 артистів, кожен виступив по 5 разів. Скільки було пісень?
Рішення. Розглянемо граф, вершинами якого є виступали артисти. З'єднаємо пару артистів ребром, якщо вони разом співали. Отримаємо граф з 12 вершинами ступеня 5, кожній пісні відповідає ребро. Аналогічно попередньом...
