обох формул легко переконатися, підставляючи розкладання в формулу (2.49) і помічаючи, що
. (2.50)
Формули (2.48) і (2.49) показують, що приріст ентропії в ударній хвилі слабкої інтенсивності є величина третього порядку малості відносно приросту p 1 -p 0 або V 0 -V 1 якими характеризується амплітуда хвилі.
З формул (2.48) і (2.49) видно, що знак прирощення ентропії в ударній хвилі визначається знаками других похідних або. Якщо адіабатична стисливість речовини - зменшується зі збільшенням тиску, тобто і, звичайна адіабата на площині р, V зображується кривої, зверненої опуклістю вниз (як в ідеальному газі з постійною теплоємністю). У цьому випадку ентропія зростає (S 1 gt; S 0) B ударній хвилі стиснення, коли, і зменшується в ударній хвилі розрідження. Якщо ж і, положення зворотне: ентропія зростає в ударній хвилі розрідження, коли p 1 lt; р 0, V 1 gt; V 0, і зменшується в ударній хвилі стиснення. Оскільки для переважної більшості реальних речовин, то з умови неможливості зменшення ентропії і слід неможливість існування ударних хвиль розрідження.
Запишемо розкладання тиску р=р (S, V) близько початкової точки S 0, V 0 аж до членів третього порядку за V 1 - V 0 і першого порядку по S 1 - S 0:
.
(2.51)
Опишемо цим розкладанням початкові ділянки ударної і звичайною адіабат, проведених через точку S 0, V 0. Члени першого і другого порядків малості щодо V 1 - V 0 в обох адіабат ??збігаються, тобто ударна і звичайна адіабати мають в початковій точці загальні дотичні і загальні центри кривизни (має місце торкання другого порядку). Члени третього порядку малості у адіабат ??відрізняються. Третій член в правій частині розкладання у обох адіабат ??загальний. Останній же, четвертий, у звичайної адіабати зникає, так як S 1 - S 0=0 (S=const), а у ударного адіабати, згідно (2.48), дорівнює
. (2.52)
У всіх нормальних речовин тиск із зростанням ентропії при постійному обсязі (під час нагрівання при постійному обсязі) збільшується, тобто ; також позитивна. Отже, при V 1 gt; V 0 останній член негативний, а при V 1 lt; V 0 позитивний: при V 1 gt; V 0 ударна адіабата проходить нижче звичайної, а при V 1 lt; V 0 - вище звичайної. Таким чином, в початковій точці для обох адіабат ??має місце торкання другого порядку з перетином.
Взаємне розташування ударної адіабати Н і звичайною Р показано на рис. 2.8. Для ясності відзначимо, що відрізок CD - величина першого порядку малості щодо V 0 - V 1, DE - другого, a EF - третього.
Повернемося до геометричної інтерпретації прирощення ентропії в ударній хвилі (рис. 2.9). Величина зображується площею фігури AFBCEA. Розіб'ємо її прямий АС на дві частини: сегмент АСЕА і трикутник ABC. Площа трикутника ABC дорівнює половині добутку підстави НД на висоту V 0 - V 1. Відрізок НД при невеликих змінах всіх величин, тобто у хвилі слабкої інтенсивності, дорівнює, тобто
, (2.53)
де - площа сегмента ACEA. Звідси
, де. (2.54)
Малюнок 2.8 - Взаємне розташування ударної Н і звичайною Р адіабат ??
- дотична до адіабати в точці початкового стану А. В ударній хвилі слабкої інтенсивності відрізок CD - величина першого порядку малості, DE - другого, EF - третього.
При малих змінах об'єму і, тобто поправка на площу трикутника мала. І дійсно, вона більш високого порядку малості, ніж площа сегмента, яка має порядок.
Малюнок 2.9 До геометричній інтерпретації прирощення ентропії в ударній хвилі
Складаючи вираз для площі сегмента
(2.55)
і підставляючи розкладання для слабких хвиль, прийдемо, як і слід було очікувати, до формули (2.48).
Таким чином, і з геометричного побудови видно, що знак AS залежить від знаку площі сегмента, тобто від того, чи проходить січна АС вище або нижче звичайної адіабати або, що те ж саме, звернена Чи адіабата опуклістю вниз або вгору.
Зіставимо швидкості u 0, u 1 зі швидкостями звуку з 0, c 1. Як ми знаємо, ставлення u 0/с 0 визначається співвідношенням нахилів прямої АВ (див. Рис. 2.4) і дотичної до адіабаті Пуассона в точці А. Ставлення u 1/с 1 визначається співвідношенням нахилів прямої АВ і дотичної до адіабаті Пуассона, проведеної через точку В. Запишемо вирази для нахилів всіх трьох прямих:
- пряма AB,
- дотична до адіабаті в точці A,
- дотична до адіабаті в точц...
