> Відповідь: H.
Приклад 3:
Показати, що середня кривизна гелікоїда дорівнює 0.
Рішення: Параметричне рівняння гелікоїда має вигляд x=ucosv, y=usinv, z=av.
Тоді
r (u, v)=(ucosv, usinv, av), u=(cosv, sinv, o), rv=(- usinv, ucosv, a),=1, F=0, G=a2 + u2, u? rv=(asinv, -acosv, u),), | ru? rv | =, ==, uu=(0, 0, 0), uv=(- sinv, cosv, 0), vv=(- ucosv, -usinv, 0),=0, =,=0.
.
Відповідь: H=0
Приклад 4:
Обчислити середню кривизну гвинтової поверхні x=ucosv, y=usinv, z=u + v.
Рішення: Маємо:
r=(ucosv, usinv, u + v), u=(cosv, sinv, 1), rv=(- usinv, ucosv, 1),=2, F=1, G=1 + u2, u ? rv=(sinv-ucosv, -cosv-usinv, u), | ru? rv | =, ==, uu=(0, 0, 0), ruv=(- sinv, cosv, 0), rvv=(- ucosv, -usinv, 0),=0,
M =,
N =.
.
Відповідь:.
Приклад 5
Знайти середню кривизну поверхні x=cosv-usinv, y=sinv + ucosv, z=u + v.
Рішення: Маємо:
r (u, v)=(cosv-usinv, sinv + ucosv, u + v) .u=(- sinv, cosv, 1), rv=(- ucosv-sinv, -usinv + cosv, 1) ,==2, F==2, G==2 + u2, u? rv=(usinv, -ucosv, u), | ru? rv |=u? 2,=(sinv, -cosv, 1), uu=(0, 0, 0), ruv=(- cosv, -sinv, 0), rvv=(usinv-cosv, -ucos-sinv , 0),==0,
M==0,==u,
.
Відповідь: H=u.
Приклад 6:
Обчислити середню кривизну даної поверхні x=3u + 3uv2-u3, y=v3-3v - 3u2 v, z=3 (u2-v2).
Рішення: Маємо:
r=(3u + 3uv2-u3, v3-3v - 3u2 v, 3 (u2-v2), u=(3 + 3v2-3u2, - 6uv, 6u), rv=(6uv, 3v3-3u2-3, - 6v),=9 ((1 + v2-u 2) 2 + 4u 2v2 + 4u 2)=9 (u2 + v2 + 1) 2,=9 (1 u2 + v2) 2uv + (- 2uv) (v2-u 2-1) - 4uv)=0,=9 (4u 2v2 + (u2-v2 + 1) 2 + 4v2)=9 (u2 + v2 + 1) 2, u? rv=9 (2u (u2 + v2 + 1), 2v (u2 + v2 + 1), (u2 + v2) 1-1), | ru? rv |=9 (u2 + v2 + 1) 2, =, uu=(- 6u, - 6v, 6), ruv=(6v, - 6u, 0), rvv=(6u, 6v, - 6),= ,
M =,
N =,
.
Відповідь: H=0.
Приклад 7:
Нехай r=r (u, v) - рівняння поверхні S, а r *=r + am- рівняння паралельної їй поверхні S *. Висловити середню кривизну поверхні S *, через середню кривизну поверхні S.
Рішення: Коефіцієнти першої та другої квадратичних форм поверхонь S і S * зв'язані співвідношеннями:
E *=(1-a2K) E + 2a (aH - 1) L, *=(1-a2K) F + 2a (aH - 1) M, *=(1-a2K) G + 2a (aH- 1) N, *=aKE + (1-2aH) L, *=aKF + (1-2aH) M, *=aKG + (1-2aH) N.
Звідси отримуємо шукане вираз:
.
Відповідь:.
Приклад 8:
Доведіть, що для середньої кривизни поверхні має місце формула
,
де d? і d? * - відповідні елементи площі паралельних поверхонь S і S *.
Доказ: Нехай на поверхні S координатні лінії збігаються з лініями кривизни. Використовуючи основний оператор, отримуємо
ru *=(1-ak1) ru, rv *=(1-ak2) rv.
Отже, коефіцієнти перший квадратичних форм поверхонь S і S * зв'язані співвідношеннями
E *=(1-ak1) 2E, G *=(1-ak2) 2G, F *=F=0.
Звідси
d? *=(1-ak1) (1-ak2) d?
і.
викривленість кривизна поверхню плівка
Висновок
При виборі теми для написання курсової роботи я керувалася своїм бажанням дізнатися якомога більше про теорії поверхонь, а точніше про її середньої кривизні. Дану роботу я почала з розгляду кривого простору. Насправді, викривленість простору ніяк не пов'язана з четвертим виміром, а є, так би мовити, його внутрішнім тілом. І встановити викривленість можна не виходячи з цього простору, а лише проводячи вимірювання всередині нього.
Далі хотілося б відзначити, що важливу роль у теорії поверхонь грають формули першої та другої квадратичних форм. За допомогою них ми виводимо формули для головних кривизн і, отже, для середньої кривизни поверхні. Детальне вивчення даної теми розкриває нам багато нового і цікавого. Для нас відкривається новий клас поверхонь, який ми називаємо мінімальними. Фізичною моделлю мінімальних поверхонь є «мильні плівки», що виникають на замкнутих контурах. При цьому на один і той же контур можна натягнути кілька мінімальних плівок.
Знання цього досвіду особливо важливо при вирішенні завдань. Завдання, представлені в даній роботі, дозволяють сформувати уявлення про середньої кривизні, зробити матеріал більш доступним, зрозумілим і цікавим в розумінні.
Але хотілося б відзначити, що кожна хвилина часу витрачена на пошуки і вивчення даного питання була мною повністю окуплена, коли все більше і більше приходило розуміння того, як багато ми не знаємо про кривизну поверхонь.
Список використаних джерел лі...
