я Плато зводиться по суті до задачі конформного відображення сферичного багатокутника f * на плоский багатокутник f **.
Ця думка була докладним чином проведена для одного особливого випадку Шварцем 1867 Саме якщо a, b, c, d - чотири вершини правильного багатогранника, то чотири його ребра ab, bc, cd, da утворюють «косою чотирикутник» r. Для цього чотирикутника завдання Плато може бути повністю вирішена (Мал. 23), а відповідна мінімальна поверхню - представлена ??за допомогою «еліптичних функцій».
Рис. 23
При відображенні в чотирьох ребрах багатокутника r поверхню f переходить в «аналітичне продовження» f. Чотири цих відображення породжують групу рухів G.
. Мінімальні поверхні як поверхні переносу.
Ці поверхні тісно пов'язані з функціями комплексного змінного і тому становлять улюблений предмет для геометрів від Лагранжа до наших днів.
Мінімальну поверхню можна представити як «поверхня перенесення»:
,
Причому координатні лінії p, q=const задовольняють умовам
Це означає, що лінії y (p), z (q) мають нульову довжину дуги. Такі мінімальні лінії називаються ізотропними.
Мінімальні поверхні є поверхнями переносу з ізотропним лініями як ліній мережі переносу.
Цей же результат справедливий і для комплексних аналітичних мінімальних поверхонь, якщо їх визначити як поверхні, для яких Н=0.
. Вигинання мінімальних поверхонь.
Визначимо найбільш загальну пару мінімальних поверхонь, що допускають ізометричне відображення одне на одного. x (p, q), x * (p, q) - мінімальні поверхні, то a (p, q), a * (p, q) їх сферичні відображення.
Відображення a? a *, будучи конформним і зберігає площі, є ізометричним і неодмінно зводиться до руху або відображенню. Якщо ми застосуємо до x (p, q) належне рух або віддзеркалення, то отримаємо нову поверхню, яку позначимо через x * (p, q) і яка відповідає поверхні x (p, q) паралелізмом нормалей: a=a *. Але тоді відповідні ізотропні дотичні збігаються:
dy *=ady, dz *=bdz.
З умов ізометрічни випливає, що ab=1. Для речовій мінімальної поверхні a і b комплексно сполучені, а буде постійним, як аналітична функція з постійним модулем. Тому, з точністю до паралельних зсувів, y *=ei? Y, z *=ei? Z. Це сімейство мінімальних поверхонь
,
залежних від речового параметра?. Бонні в 1853 р назвав їх сімейством асоційованих мінімальних поверхонь. Зокрема, поверхні?=0,?/2 знову є «приєднаними» один до одного.
Відзначимо основні властивості асоційованих мінімальних поверхонь:
1. У відповідних точках поверхні сімейства володіють паралельними дотичними площинами.
2. З формули ds 2=dxdx =? dpdq випливає, що відповідність між поверхнями сімейства, встановлюване рівністю p і q є ізометричним.
. На поверхнях x (p, q,? 1), x (p, q,? 1) відповідні дотичні укладають між собою постійний кут? 1 -? 2=?.
4. Лініями рівня для довільного напрямку схилу на одній поверхні сімейства відповідають ізогональние траєкторії ліній рівня на кожній іншій поверхні.
5.Із рівності випливає: траєкторіями точки x (p, q ,?) при фіксованих p, q і змінюваному? є еліпси з центром у початку координат.
§8. Приклади
Наведемо кілька прикладів знаходження середніх кривизн поверхонь.
Приклад 1:
Eсли поверхня задана рівнянням z=f (x, y), знайдіть її середню кривизну.
Рішення: Поверхня, обумовлена ??рівнянням z=f (x, y), може бути задана параметрично у вигляді
r (x, y)=(x, y, f (x, y)), rx=(1, 0, fx), ry=(1, 0, fy).
Матриця перший квадратичної форми має вигляд
rx? ry=(- fx, - fy, 1), | rx? ry |=
m ==
rx x=(0, 0, fxx), rxy=(0, 0, fxy), ryy=(0, 0, fyy),
L= == == =.
Матриця другого квадратичної форми має вигляд
Інакше цю формулу можна записати в іншому вигляді
,
де p, q, r, s, t - звичайні позначення для похідних функцій.
Відповідь:.
Приклад 2:
Знайдіть середню кривизну поверхні обертання.
Рішення: ru=(x ?, ?? cos ?, ?? sin?), r?=(0, -? sin ?,? cos?). Тут? позначає диференціювання по u.
Матриця першого квадратичної форми
rx? ry=(???, -? x? cos ?, -? x? sin?),), | rx? ry | =?
m=
ruu=(x ??, ??? cos ?, ??? sin?),
ru?=(0, - ?? sin ?, ?? cos?),
r ??=(0, - ?? cos ?, -? sin?),
L =,
M=0,
N =.
Тепер обчислимо середню кривизну поверхні обертання:
