ється замкнутим , якщо для кожного замкнутого безлічі F ГЌ Х образ f ( F ) є замкнутим безліччю в Y .
Визначення 16. Відображення f : X в†’ Y називається замкнутим над точкою y ГЋ Y , якщо для всякої округа Про шару f - < sup> 1 ( y ) ГЊ Х знайдеться околиця Oy точки y , трубка над якою f - 1 ( Oy ) міститься в даній околиці Про шару f - 1 ( y ):
Зв'язок між замкнутістю в точці і загальної замкнутістю встановлює наступна
Лемма 2.1. Безперервне відображення f : X в†’ Y замкнуто тоді і тільки тоді, коли воно замкнуто над кожною точкою y ГЋ Y .
Доказ. Необхідність. Нехай відображення f : X в†’ Y замкнуто. Візьмемо довільну точку y ГЋ Y і розглянемо околиця Про безлічі f - 1 ( y ) . Безліч F = X Про замкнуто в Х і F ∩ f -1 ( y ) = Г†. Тому безліч f ( F ) замкнуто в Y і крапка y ГЏ f ( F ) . Значить околиця Oy = Y f ( F ) точки y володіє такою властивістю отже, f - 1 ( Oy ) ГЊ О. Таким чином, відображення f замкнуто над кожною точкою y ГЋ Y в силу того, що точка y взята довільно.
Достатність. Нехай безперервне відображення f замкнуто над кожною точкою y ГЋ Y . Припустимо, що образ f ( F ) деякого замкнутого в Х безлічі F не замкнутий в Y . Нехай точка y ГЋ [ f ( F ) ] f ( F ), тобто належить границі безлічі f ( F ) . Безліч X F є околицею безлічі f - 1 ( y ). Отже, існує така околицях Oy точки y , що Але тоді Oy ∩ f ( F ) = Г† і тому точка y ГЏ [ f ( F )].
Отримали протиріччя. Звідси, відображення f замкнуто. €
Наступні твердження вказують на деякі найважливіші приклади замкнутих відображень.
Пропозиція 2.1. Безперервне відображення f : X В® Y компактного простору X в хаусдорфово простір Y є замкнутим.
Доказ. Розглянемо довільне безліч F , замкнуте в Х . Воно буде компактним (по теоремі 1.7). ...
