де - одиничний вектор, спрямований по осі U.
Дійсно, якщо дано кути які вісь U становить з координатними осями, то
В
і тоді має місце формула:
В
3. ЗАСТОСУВАННЯ скалярному твору
Використання скалярного твори вкрай широко, як в елементарних, так і у вельми абстрактних областях математики, фізики та прикладних наук. Нижче наведено кілька прикладів використання скалярного твори векторів. p align="justify"> Приклад
Знайти довжину вектора , якщо
Рішення:
В
Приклад 4.2Теорема косинусів
В
Рис. 8
У трикутнику квадрат сторони з дорівнює сумі квадратів інших сторін мінус подвоєний добуток довжин цих сторін на косинус кута між ними (див. малюнок 8)
В
Введемо вектора, як показано на малюнку вище. Тоді отримаємо (з використанням формули (3)):
В В
Приклад
Довести, що діагоналі чотирикутника, заданого координатами вершин А (-4; -4; 4), В (-3; 2, 2), C (2, 5, 1), D (3 ; -2, 2), взаємно перпендикулярні.
Рішення: Складемо вектора АС і BD, що лежать на діагоналях даного чотирикутника. Маємо:
В В
Знайдемо скалярний добуток цих векторів:
В
Звідси випливає, що . Отже, діагоналі чотирикутника ABCD взаємно перпендикулярні.
Приклад 4.4
Робота постійної сили
Нехай матеріальна точка переміщується прямолінійно з положення А в положення В під дією постійної сили F, що утворює кут з переміщенням АВ = S (см.ріс. 9).
В
Рис. 9
З фізики відомо, що робота сили F при переміщенні S дорівнює
В
Таким чином, робота постійної сили при прямолінійному переміщенні її точки докладання дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення. p align="justify"> Приклад
Радіус траєкторії руху матеріальної точки. Тіло кинули горизонтально (у полі сил тяжіння) зі швидкістю . Знайти радіус траєкторії руху тіла через t секунд
В
Рис. 10
Рішення: При русі по криволінійній траєкторії радіус дорівнює:
В
де - модуль швидкості тіла, - В«нормальнеВ» прискорення - компонента повного прискорення тіла, перпендикулярна до повної швидкості.
Оскільки тіло рухається в полі сил...
