ify"> Скалярний твір має такі властивості (частина цих властивостей наведена раніше. Тут вони наведені для повноти):
(комутативність).
(скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини).
Скалярний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли сомножители ортогональні або хоча б один з них нульової
вектор простір скалярний величина
В В В В
Нерівність Коші - Буняковського <# "justify" height = "20" src = "doc_zip309.jpg"/> і виконується нерівність:
Теорема: У ортогональному базисі компоненти будь-якого вектора знаходяться за формулами:
В
Нехай в деякому базисі задані вектори і тоді, користуючись властивостями скалярного твори, можна записати:
В В
Величини називаються метричними коефіцієнтами даного базису. Отже
В
Ці формули приймають більш простий (і компактний вид) у ортонормированном базисі. p align="justify"> Дійсно, нехай , причому кожний доданок коллинеарности-відповідному базисному вектору. З теореми другого розділу випливає, що , де вибирається знак плюс або мінус в залежності від того, однаково або протилежно спрямовані вектори , і . Але, , де ? - кут між векторами , і . Отже, . Аналогічно обчислюються і інші компоненти.
Теорема: У ортонормированном базисі
В
мають місце такі рівності:
) для двох векторів: і маємо:
В
) для вектора: маємо:
В
) для векторів і проекція вектора на вектор дорівнює:
В
) для векторів і кут між ними дорівнює:
В
З формули (4) випливає необхідна і достатня умова перпендикулярності двох векторів
В В
Проекція довільного вектора на яку-небудь вісь U визначається формулою
В...
