де -
взаємно прості непарні цілі числа. Доказ
Сума має вигляд :
В
Враховуючи (14) і (19), можна отримати різниця :
=>.
Висловимо з (25) і (26):
=> p> => . br/>
За умовою повинні бути взаємно простими цілими числами , тому їх загальний множник.
Т.ч., мають вигляд :
, , А їх сума. br/>
Т.к. з (8), то =>.
З (19) з урахуванням (29) висловимо :
, тобто . p> Т.ч.,,, тобто
В
, вирази яких, з урахуванням (33), повністю збігаються з (9) і (10 ).
Тепер знайдемо суму з :
В
тому , Тобто . br/>
(Тут чергування В«ПлюсаВ» і В«мінусаВ» таке ж, як і у одиниці в (29 ). У наступних діях ми це врахуємо).
Тепер, враховуючи (32), отримаємо значення для з :
, br/>
тому з (29) витікає.
Отже,.
Враховуючи (34), отримаємо =>. p> Тепер, з урахуванням (38''), можна отримати остаточне вираз для b (з (35)):
, тобто . br/>
Таким чином, рівняння (15) , рішеннями якого є (16-B), (17 + C), (18) і (19), в кінцевому рахунку має такі рішення ( є остаточними рішеннями у разі 8):
В
, де - взаємно прості непарні цілі числа, ч.т.д.
*********
Примітка
В
Те, що остаточні рішення у випадках 15 і 8 однакові, випливає і з наступного міркування , яке використовуємо надалі (для швидкості суджень).
В
Випадок 15. Випадок 8
з = - В ( 16-B ) , з = - З ( 16 ') ,
b = С ( 17 + C) , b = В ( 17) ,
n = N ( 18 ), n = N ( 18 ),
K ( 19 ) , K ( 19 ) .
У цих випадків однакові знаки в правих частинах з і b , але різні вирази ( З і В ), в іншому ці випадки схожі. p> Міркування
Якщо в цих випадках рішення збігаються, значить, у них треба виявити щось спільне. Цим загальним властивістю для них є твір і різниця з і b .
В
В«Загальні властивості для з і b В»:
В
з b = -СВ , с - b = - З-В , с - b = 2К
Скористаємося властивостями коренів квадратного рівняння ( теоремою Вієта ). Маємо:
з ( - b < u>) = СВ , з + ( - b ) = -С-В = 2К .
В
Звідси отримуємо квадратне рівняння
В
- 2К + З В = 0 => X 1,2 = До ,
де, наприклад, Х 1 = - b , а Х 2 = з , тобто
Х 1 = - b = К + = + = + = + =-В => b = В ,
де на підставі та Х 1 = - b = -
В
Х 2 = з = К- = < i> - = - = - =-С => з = - З,
де на підставі (40 ')В і Х 2 = Таким чином, ми отримали випадок 8 :
Випадок 8
з = - З ( 16 ') ,
b = В ( 17) ,
n = N ( 18 ),
K ( 19 ),
де
В
, а - взаємно прості непарні цілі числа .
В
Тепер позначимо Х 1 = з , а Х 2 = - b . Тоді отримаємо:
Х ...
