ах X і Y одні й ті ж. Значить, в Y на р елементів більше, ніж у X, тобто р + до елементів. Тому безліч Х можна вибрати
способами, безліч Y- способами, і за правилом твори кількість колій довжини п, ведучих з точки Про в
точку А (р; q), одно, де.
4. Виправити завдань
Задача № 1. p align="justify"> а) Скільки існує трикутників, вершини яких є вершинами даного опуклого шестикутника?
б) Скількома способами можна побудувати замкнуту ламану, вершинами якої є всі вершини правильного шестикутника (ламана може бути самопересекающиеся)?
Рішення.
а). трикутників.
б). 6!/12 = способів. (Вершини можна обходити в будь-якому порядку, але починати можна з будь-якої з 6 вершин у будь-якому з 2 напрямів). p> Задача № 2.
Доведемо геометричним шляхом формулу
В
де, 0? s? k, 0? s? n, розглянувши розбиття множини всіх шляхів з А (0, 0) в M (k, n) на класи у відповідності з тим, через яку точку прямої DE (де D (ks; n), E (k; ns)) вони проходять.
Рішення.
D M
n
n-m
n-s XE
А k-s k-s + m k
За один крок точка рухається на одиницю по горизонталі або по вертикалі. Тоді з А (0, 0) до М (k; n), необхідно зробити n + k кроків, при чому з них треба вибрати n кроків по вертикалі. Отже, всього шляхів. p> При цьому кожен такий шлях рівно в одній точці перетне DE, отже всі безліч із шляхів можна розбити на класи (непересічні підмножини) відповідно з тим, через кожну точку DE проходить шлях.
Знайдемо кількість шляхів у кожному класі, тобто для будь-яких XЄ DE, Х має координати X (k-s + m; nm) де m = 0, 1, .....; s. З точки А (0; 0) до X (k-s + m; nm) (k-s + m) + (nm) = n + ks кроків з них якісь nm по вертикалі, тобто всього від А до X шляхів.
З точки X (k-s + m; nm) до M (k; n) k-(k-s + m) + n-(nm) = S кроків, з них якісь m по вертикалі, тобто всього від X до M шляхів.
Тоді від А до M шляхів через Х:? p> Таким чином,
? =? +? + ... +? + ... + +?
Задача № 3.
Монету кидають 2n разів. Доведіть, що кількість варіантів, при яких герб ні в один момент не випав частіше решки, дорівнює
Рішення.
Нехай m - число випали гербів, тоді k = 2n-m - число решек. У будь-який момент гербів випадало менше, ніж решек, отже, зокрема після 2n підкидань: m? k = 2n - m, отже m? n
Далі, ми в умовах завдання про чергу до каси: m - герби - В«рубліВ»,
k - решки - В«полтиникиВ».
випав гербів не більш решек <=> чергу йде без затримки. br/>В
при m = 0 = 0 = 0 = 0
тільки ...
