тами ( o, o, h) в перетині вийде лінія, задана рівняннями:.
Це рівняння має рішення при | h | c . При | h |=c в перетині виходять дві точки А ( o, o, h ) і В ( o, o, - h )- вершини гіперболоїда. Якщо | h |> c , то в перетині виходить коло. Її рівняння, де.
Напівосі цієї окружності збільшуються із збільшенням | h | . У перетині гіперболоїда координатою площиною XOZ , отримуємо гіперболу. Її рівняння на площині XOZ: або. Дійсна вісь гіперболи розташована на осі OZ , на цій гіперболі лежать кінці осей (рівних 2 а ), еліпсів, отриманих в перетинах площинами z=h . У перетині гіперболоїда площиною YOZ також вийде гіпербола. Її рівняння в площині:. У двуполостного гіперболоїда обертання в рівнянні (5) a=b , в перетині його площинами z=h , виходять окружності. Все перераховане вище дозволить нам зобразити двуполостной гіперболоїд обертання. Зображення двуполостного гіперболоїда і його перетинів координатними площинами представлено у додатку 2 рис. 19.
Еліптичний параболоїд обертання
, a=b (6)
При z=0 це рівняння не має рішень, при z=0 є єдине рішення: x=0, y=0, z=0. Отримаємо координати точки 0 (початок координат), яка називається вершиною параболоїда. Всі інші його точки знаходяться над площиною ХОУ . У перетині поверхні площинами z=h (h> 0) отримуємо окружнорсті, їх рівняння: або, де. Осі окружності збільшуються при зростанні h . У перетинах площинами XOZ і YOZ виходять параболи і. Зображення еліптичного параболоїда і його перетинів координатними площинами представлено в додатку (додаток 2, рис. 20.).
Глава II. Вивчення теми «поверхні обертання другого порядку» в шкільному курсі математики
2.1 Аналіз змісту шкільного курсу математики
2.1.1 Аналіз шкільних програм та підручників з геометрії
На початковому етапі роботи були проаналізовані підручники геометрії наступних авторів: А.В. Погорєлова (7-9 клас), А.С. Атанасян (7-9 клас, 10-11 клас), І.Ф. Шаригіна (10-11 клас), А.Д. Александрова (9-10 клас). За підсумками аналізу була складена таблиця 1:
Таблиця 1
Зміст теми «Поверхні обертання» в шкільних підручниках
А.В. Погорєлов (7 - 9 клас) А.С. Атанасян (7 - 9 клас, 10 - 11 клас) І.Ф. Шаригін (10 - 11 клас) А.Д. Александров (9 - 10 клас). Визначення поверхні + - +-Зображення поверхні + - +-Визначення кулі-+ - + Визначення циліндра + + - + Визначення конуса-+ - + Визначення сфери --- + Зображення кулі + + + + Зображення циліндра + + + + Зображення конуса + + + + Аналітичний метод побудови ---- Геометричний метод побудови + --- Перетини поверхонь + + - + Ітогі8758
Таблиця 1 дозволяє зробити наступні висновки:
· визначення поверхні обертання дано в підручниках А.В. Погорєлова і І.Ф. Шаригіна, причому більш повно представлено в підручнику Погорєлова;
· в підручниках А.В. Погорєлова, А.Д. Александрова, А.С. Атанасян дано визначення трьох поверхонь обертання: кулі, циліндра, конуса. Їх зобр...
