пов'язаний з темою лінії другого порядку, яка вивчається перед темою поверхонь другого порядку, і дозволяє найбільш чітко зобразити об'ємну поверхню другого порядку на плоскому аркуші ватману.
Нижче будуть представлені побудови поверхонь обертання другого порядку таких як еліпсоїда обертання, однополостного гіперболоїда обертання, двуполостного гіперболоїда обертання, еліптичного параболоїда обертання.
1.4.2 Приклади побудови поверхонь обертання другого порядку
Еліпсоїд обертання
, a=b ( 1)
При побудові цієї поверхні скористаємося методом паралельних перерізів. Розглянемо перетину площин паралельних площині ХОУ. Рівняння такій площині має вигляд z=h , якщо площина перетинає вісь OZ в точці з координатами про, про, h , підставляючи це значення z в рівняння (1), отримаємо наступне рівність: (2). Розділимо його і покладемо, . Отримаємо рівняння еліпса, який є проекцією перетину площину ХОУ:. Це можливо лише в тому випадку, коли | h | В іншому випадку рівняння (2) рішень не має, тобто січна поверхня не перетинає числа і приймає найбільше значення при h=0 . У перетині поверхні площиною ХОУ виходить коло з півосями а і b . Осі кіл зменшуються при зміні | h | від про до с.
При перетині поверхнею XOZ (y=o) виходить еліпс : , площиною XOZ (x=0) - еліпс.
Цим еліпсом належать кінці осей еліпсів, отриманих при перетині поверхні площинами, паралельними площині ХОУ.
Позитивні числа а, в, с називається півосями еліпсоїда. Якщо, то він називається трехосним. У нашому випадку а=b це еліпсоїд обертання, так все його перетину площинами z=h (| h | є колами. При a=b=c отримуємо сферу, так як рівняння (1) приймає вигляд:.
Зображення еліпсоїда і його перетинів координатними площинами представлено в додатку (додаток 2, рис.17.).
Однопорожнинний гіперболоїд обертання
, a=b ( 3)
Щоб побудувати форму поверхні, на перерізу її площинами, паралельними площині ХОУ. Рівняння такій площині: z=h . Підставами це значення z в рівняння (3), отримаємо: (4). Проекція перетину на площину ХОУ - коло, задана рівнянням (4). Її півосі рівні. Найменша окружність виходить при h=0 , тобто в перетині поверхні площиною ХОУ. Перетин поверхні площиною ХОУ ( y=0) - гіпербола. Її рівняння.
У перетині площиною XOZ (x=0) отримаємо також гіперболу, задану рівнянням. У додатку 10 зображений однопорожнинний гіперболоїд і його перетину площинами XOZ , YOZ і деякими площинами, паралельними ХОУ.
Якщо в рівнянні a=b , то перерізу площинами паралельними ХОУ є колами, і поверхня називається однополостного гіперболоїдом обертання. Поверхню можна ще отримати, обертаючи навколо осі пряму, яка не перетинає вісь і не паралельна їй. Зображення однополостного гіперболоїда і його перетинів координатними площинами представлено у додатку 2 рис.18.
двуполостной гіперболоїд обертання
, a=b (5)
Розглянемо перетину цієї поверхні площинами паралельними площині ХОУ. Нехай січна площина перетинає вісь OZ в точці з координа...
