А) Х);
) по заданій матриці коефіцієнтів прямих витрат А визначити матрицю коефіцієнтів повних витрат Р, елементи якої служать важливими показниками для планування розвитку галузей (в матричної формі Р=(Е - А) - 1);
) визначити обсяги валової продукції галузей х1, х2, ..., хn по заданих обсягами кінцевої продукції у1, у2, ..., уn (в матричної формі Х=(Е - А) - 1 У=Р У );
) за заданими обсягами кінцевої або валової продукції галузей х1, х2, ..., хn визначити залишилися n обсягів.
У першій задачі планується валовий випуск продукції, а кінцева продукція є похідним показником. Такий підхід легше здійснити на практиці, але він може призвести до нераціональну структуру національного доходу і диспропорцій у розвитку окремих галузей третє завдання пропонує більш прогресивний принцип планування - від національного доходу. Однак розраховані рівні валової продукції для одних галузей можуть виявитися завищеними і ресурсно-незабезпеченими, а для інших - заниженими, не завантажувати навіть діючі виробничі потужності. Четверте завдання певною мірою відображає існую практику планування.
Для того щоб матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А була продуктивною, необхідно і достатньо, щоб виконувалася одна з перерахованих нижче умов:
1. матриця (Е - А) неотрицательно оборотна, тобто існує зворотна матриця (Е - А) - 1 0;
2. матричний ряд Е + А + А2 + А3 + ....=сходиться, причому його сума дорівнює зворотної матриці (Е - А) - 1;
. найбільшу за модулем власне значення матриці А, тобто рішення характеристичного рівняння, строго менше одиниці;
. всі головні мінори матриці (Е - А), тобто визначники матриць, утворені елементами перших рядків стовпців цієї матриці, порядку від 1 до n, додатні.
Більш простим способом перевірки продуктивності матриці А є обмеження на величину її норми. Якщо норма матриці А строго менше одиниці, то ця матриця продуктивна. Дана умова є достатньою, але не необхідною умовою продуктивної.
. Історія зародження та створення лінійного програмування
Кожна людина щодня, не завжди усвідомлюючи це, вирішує проблему: як отримати найбільший ефект, володіючи обмеженими засобами. Наші засоби і ресурси завжди обмежені. Життя було б менш цікавою, якби це було не так. Не важко виграти бій, маючи армію в 10 разів більшу, ніж у супротивника.
Щоб досягти найбільшого ефекту, маючи обмежені кошти, треба скласти план, або програму дій. Раніше план в таких випадках складався на вічко (тепер, втім, часто теж). У середині XX століття був створений спеціальний математичний апарат, що допомагає це робити по науці. Відповідний розділ математики називається математичним програмуванням. Слово програмування тут і в аналогічних термінах (лінійне програмування, динамічне програмування і т.п.) зобов'язана почасти історичного непорозуміння, почасти неточному перекладу з англійської. По-русски краще було б вжити слово планування. З програмуванням для ЕОМ математичне програмування має лише те загальне, що більшість виникаючих на практиці задач математичного програмування занадто громіздкі для ручного рахунку, вирішити їх можна тільки за допомогою ЕОМ, попередньо склавши програму. Часом народженн...
