. Після знаходження невідомих змінних x 1 , x 2 , ..., x n , матриця
Стає рішенням системи рівнянь і рівність a? x=b звертається в тотожність.
Будемо вважати, що матриця а - невироджена, тобто, її визначник відмінний від нуля. У цьому випадку система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдине рішення, яке може бути знайдено методом Крамера.
Метод Крамера грунтується на двох властивостях визначника матриці:
1. Визначник квадратної матриці
a=|| aij ||, i=1,2, ..., n, j=1,2, ..., n
дорівнює сумі добутків елементів якого-небудь рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення:
P=1,2, ..., n, q=1,2, ..., n
2. Сума добутків елементів якого-небудь рядка (стовпця) квадратної матриці на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю:
Отже, приступимо до знаходження невідомої змінної x 1 . Для цього помножимо обидві частини першого рівняння системи на а 1 січня , обидві частини другого рівняння - на а 1 лютого , і так далі, обидві частини n - ого рівняння - на а n 1 (тобто, рівняння системи множимо на відповідні алгебраїчні доповнення першого стовпця матриці а ):
Складемо всі ліві частини рівняння системи, згрупувавши доданки при невідомих змінних x 1, x 2, ..., xn, і прирівняємо цю суму до суми всіх правих частин рівнянь:
Якщо звернутися до озвученими раніше властивостям визначника, то маємо
І попереднє рівність прийме вигляд
Звідки
Аналогічно знаходимо x 2 . Для цього множимо обидві частини рівнянь системи на алгебраїчні доповнення другого шпальти матриці а :
Складаємо все рівняння системи, групуємо доданки при невідомих змінних x 1, x 2, ..., xn і застосовуємо властивості визначника:
Звідки
Аналогічно знаходяться залишилися невідомі змінні.
Якщо позначити
Те отримуємо формули для знаходження невідомих змінних за методом Крамера
2.2 приклад вирішення систем лінійних рівнянь методом Крамера
Скласти програму для знаходження невідомих системи лу:
2.2.1 технічне завдання на навчальний програмний продукт
Справжнє технічне завдання поширюється на розробку програми вирішення систем лінійних рівнянь методом Крамера, призначених для зберігання даних зазначених завдань, їхні рішення та зберігання отриманих результатів, і використання розробниками програмних і апаратних засобів обчислювальної техніки.
Підстава для розробки
Програма розробляється на підставі розпорядження зав. Кафедрою «еіатс» для її використання в навчальному процесі, а саме, для полегшення процесу розрахунку контурних струмів в ланцюгах з постійною напругою.
Призначення
Призначена для вирішення систем лінійних рівнянь методом Крамера в різних технічних дисциплінах, зокрема, для курсу, що викладається «вища математика» за темою «рішення систем лінійних рівнянь».
Користувачами також можуть бути і фахівці різних предметних областей, яким доводиться вирішувати подібні завдання.
Вимога до програми або програмного виробу
Вимога до функціональних характеристик
Програма повинна представляти сукупність методичних і програмних засобів вирішення наступного завдання:
· Розрахунок визначників матриці;
· Знаходження невідомих змінних в системах лінійних рівнянь методом Крамера.
Для цих завдань повинні бути реалізовані:
алгоритми, що забезпечують отримання точного рішення;
програмний продукт представлений на мові сі ++.
