Пояснювальна записка до курсової роботи:
Програмування та дослідження алгоритмів обчислення визначених інтегралів
Введення
На практиці часто виникає необхідність обчислити певний інтеграл. Якщо інтеграл береться в алгебраїчних функціях, то все в порядку і взяти його вручну не становить труднощів. А якщо інтеграл НЕ берет в алгебраїчних функціях або просто їх дуже багато, то доводиться вдаватися до допомоги комп'ютерної техніки. Існують декілька способів обчислення певних інтегралів на ЕОМ, причому абсолютно всі ці способи отримують лише наближені значення. У цій роботі ми розглянемо два методи обчислення: метод трапецій і метод Сімпсона (метод парабол).
Метод трапецій
Нехай Y =, де - інтегрована функція, безперервна на відрізку. Для наочності будемо припускати, що позитивна на відрізку. У цьому випадку Y є площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями: ,,,. Виберемо довільне натуральне число і розіб'ємо відрізок на рівних відрізків за допомогою точок:,,,, ...,. Прямі розбивають нашу трапецію на смужок. Кожна смуга має граничні вертикалі: і. З'єднаємо прямий ті точки, в яких ці вертикалі перетинають інтегруються функцію. В результаті площа кожної смужки приблизно стала дорівнює площі звичайної прямолінійною трапеції (див. Рис. 1).
Рис. 1
Площа найлівішій смужки приблизно дорівнює площі найлівішій трапеції, а саме:. З математичних міркувань і, а висота трапеції. Значить. Площі всіх наступних смужок виразяться аналогічним способом і складуть:,,, ...,. Щоб знайти площу цікавить нас криволінійної трапеції необхідно скласти площі всіх смужок, які в свою чергу наближено дорівнюють площам відповідних прямолінійних трапецій. Отже, площа криволінійної трапеції, а значить і чисельне значення заданого інтеграла, рівні.
Цю формулу можна записати в іншому вигляді, використовуючи математичні скорочення і твердження, що - довжина одного з рівних відрізків або висота кожної прямолінійної трапеції:
(1).
Дана формула називається формулою трапецій. Її точність залежить від. Чим більше кількість розбиття відрізка інтегрування, тим вище точність обчислень.
Тепер перейдемо до завдання: нам необхідно знайти товщину шару міді, що виділилася в результаті електролізу водного розчину хлориду міді (II) на катоді. Відома залежність сили струму від часу. Звідси маємо. Фактично нам треба оформити функцію обчислення заданого певного інтеграла на Visual Basic 6.0 методом трапецій. Назвемо функцію metod_trapec. При виклику функції задаються параметрами будуть down_predel=0 - нижня межа інтегрування, up_predel - верхня межа інтегрування (час спостереження), chislo_razb - число розбиття відрізка інтегрування. Програмний код функції буде виглядати так:
Function metod_trapec (ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal n As Long) As Doubleh As Singles As Doublei As Long=(b - a)/n=(F (a, Io) + F (b, Io)) * h/2i=1 To n - 1=s + F (a + i * h, Io) * hi_trapec=sFunction
__________
Фактичні параметри down_predel, up_predel, chislo_razb відповідають формальним параметрам a, b, n. В основі лежить формула трапецій (1), записана по-іншому:
.
Накопичуємо суму, результат якої і буде шуканим значенням певного інтеграла. Далі присвоюємо імені функції значення змінної s.
Метод Сімпсона (метод парабол)
Нехай Y =, де - інтегрована функція, безперервна на відрізку. Для наочності будемо припускати, що позитивна на відрізку. У цьому випадку Y є площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями: ,,,. Виберемо довільне натуральне парне число і розіб'ємо відрізок на рівних відрізків за допомогою точок: ,,,, ... ,. Прямі розбивають нашу трапецію на смужок. Кожна смуга має граничні вертикалі: і. Відзначимо точки, в яких ці вертикалі перетинають інтегруються функцію. У результаті вийшли точки:,,, ... ,. На всьому відрізку інтегрування через точки і проведемо графіки квадратичних функцій. У результаті вийшло, що площа двох сусідніх смужок, обмежених прямими і приблизно дорівнює площі під параболою, проведеної через точки і (див. Рис. 2).
Рис. 2
Обчислимо площу під параболою, що проходить через точки і. Рівняння параболи має загальний вигляд. Площа під параболою:
(2).
Парабола проходить через три точки, і, де. Вирішуючи систему з трьох рівнянь,
отримуємо:.
Підставляємо у формулу (2). Звідси випливає, що, де. Поширюємо на весь відрізок:
. Запишемо із застосуванням математичних операндів:
(3).
Дана формула називається формуло...
