Варіант 7
Завдання 1. У магазині виставлені для продажу N=50 виробів, серед яких M=25 виробів неякісних. Яка ймовірність того, що взяті випадковим чином n=10 виробів будуть:
а) якісними;
б) хоча б один з них буде якісним;
в) жодного якісного виробу.
Рішення:
Скористаємося формулою Бернуллі.
У нашій задачі: n=10, p =, q=1 p=0,5,
а) потрібно знайти.
.
в) потрібно знайти.
.
б) потрібно знайти.
.
Відповідь: а) 0,0010; б) 0,9990; в) 0,0010.
Завдання 2. У партії з N=50 виробів M=25 мають прихований дефект. Яка ймовірність того, що з узятих навмання n=10 виробів дефектними виявляться m=4 виробів?
Рішення:
Число всіх можливих варіантів вибрати 10 деталі з 50 одно. Число можливих варіантів благоприятствующих нашому події (4 вироби виявляться дефектними) одно.
За визначенням ймовірності, шукана ймовірність того, що 2 вироби виявляться дефектними, дорівнює
.
Відповідь: 0,000001.
Завдання 3. Студент розшукує потрібну йому формулу в трьох джерелах. Імовірність того, що формула міститься в першому довіднику p=0,75, у другому - q=0,5, у третьому - g=0,8. Знайти ймовірність того, що:
а) формула міститься хоча б в одному довіднику;
б) формула міститься тільки в двох підручниках;
в) формула міститься в будь-якому підручнику;
г) формули немає ні в одному з підручників.
Рішення:
а) Імовірність того що формула міститься хоча б в одному довіднику дорівнює, одиниці мінус ймовірність того, що формули немає ні в одному джерелі:
.
б) Імовірність того що формула міститься у двох підручниках складається з трьох ймовірностей:
формула міститься в 1 і 2 довіднику;
формула міститься в 1 і 3 довіднику;
формула міститься в 2 і 3 довіднику.
Тоді
.
в) Імовірність того що формула міститься в будь-якому підручнику дорівнює:
.
г) Імовірність того що формули немає в жодному з підручників дорівнює:
.
Відповідь: а) 0,975; б) 0,475; в) 0,3; г) 0,025.
Завдання 4. У район вироби поставляються трьома фірмами. Відомо, що перша фірма постачає товар з браком в 0,2%, друга - 0,25%, третя - 0,3%. З першої фірми надійшло 1600, з другої - 1700, а з третього - 2000 виробів. Знайти ймовірність, що придбане виріб виявиться
а) стандартним;
б) нестандартним;
в) яка ймовірність, що стандартний виріб надійшло з третьої фірми?
Рішення:
Позначимо події: - виріб надійшло з першого фірми; - виріб надійшло з 2- ої фірми; - виріб надійшло з 3 їй фірми;
А - виріб стандартне.
Тоді
;
; ;.
а) За формулою повної ймовірності знаходимо ймовірність, того що виріб буде стандартним:
.
б) Імовірність, того що виріб буде нестандартним:
.
в) За формулою Байєса знайдемо ймовірність того, що стандартний виріб надійшло з третьої фірми:
.
Відповідь: а) 0,9975; б) 0,0025; в) 0,3772.
Завдання 5. У середньому по 15% договорів страхова компанія виплачує страхову суму. Знайти ймовірність того, що з n=22 договорів з настанням страхового випадку буде пов'язано з виплатою страхової суми:
а) три договори;
б) менше двох договорів.
Рішення:
Скористаємося формулою Бернуллі.
У нашій задачі: n=22, p=0,15, q=1 p=0,85.
а) Потрібно знайти.
б) Потрібно знайти.
;
;
Тоді
.
Відповідь: а) 0,2370; б) 0,1367.
Завдання 6. аудиторної роботи з теорії ймовірності успішно виконало 50% студентів. Знайти ймовірність того, що з N=350 студентів успішно виконають:
а) М=200 студентів;
б) не менше М=200 студентів;
в) від М=200 до L=300 студентів.
Рішення:
а) Для визначення ймовірності того, що з 350 студентів успішно виконають роботу з теорії ймовірності 200 студентів, скористаємося локальної теоремою Лапласа:
, де.
У нашій задачі: n=350, k=200; p=0,5, q=0,5.
.
По таблиці знаходимо. Отримуємо:
.
б) Для визначення ймовірності того, що з 350 студентів успішно виконають роботу з теорії ймовірності не менше 200 студентів, скористаємося інтегральною теоремою Лапласа:
, де,
У нашій задачі: n=350, k1=200, k2=350, p=0,5, q=0...
