Точність оцінки, довірча ймовірність (надійність)
Довірчий інтервал
При вибірці малого обсягу слід користуватися інтервальними оцінками т.к. це дозволяє уникнути грубих помилок, на відміну від точкових оцінок.
інтервальних називають оцінку, яка визначається двома числами - кінцями інтервалу, що покриває оцінюваний параметр. Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок.
Нехай знайдена за даними вибірки статистична характеристика Q * служить оцінкою невідомого параметра Q. Будемо вважати Q постійним числом (Q може бути і випадковою величиною). Ясно, що Q * тим точніше визначає параметр в, чим менше абсолютна величина різниці | Q - Q * |. Іншими словами, якщо d> 0 і | Q - Q * | < d, то чим менше d, тим оцінка точніше. Таким чином, позитивне число d характеризує точність оцінки.
Проте статистичні методи не дозволяють категорично стверджувати, що оцінка Q * задовольняє нерівності | Q - Q * | < d, можна лише говорити про ймовірність g, з якою це нерівність здійснюється.
Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки Q по Q * називають імовірність g, з якою здійснюється нерівність | Q - Q * | < d. Зазвичай надійність оцінки задається наперед, причому в якості g беруть число, близьке до одиниці. Найбільш часто задають надійність, рівну 0,95; 0,99 і 0,999.
Нехай імовірність того, що | Q - Q * | < d, дорівнює g тобто
Р (| Q - Q * |
Замінивши нерівність | Q - Q * | < d рівносильним йому подвійним нерівністю - d <| Q - Q * | < d, або Q * - d < Q < Q * + d, маємо
Р (Q * - d
Довірчим називають інтервал (Q * - d, Q * + d), який покриває невідомий параметр Q із заданою надійністю g.
Довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому s.
інтервальних оцінкою з надійністю g математичного сподівання а нормально розподіленої кількісної ознаки Х по вибіркової середньої `х при відомому середньому квадратичному відхиленні s генеральної сукупності служить довірчий інтервал
`х - t (s / n ^?) < a < `Х + t (s / n ^?),
де t (s / n ^?)=d - точність оцінки, n - обсяг вибірки, t - значення аргументу функції Лапласа Ф (t), при якому Ф (t)=g / 2.
З рівності t (s / n ^?)=d, можна зробити наступні висновки:
1. при зростанні обсягу вибірки n число d убуває і, отже, точність оцінки збільшується;
2. збільшення надійності оцінки g=2Ф (t) призводить до збільшення t (Ф (t) - зростаюча функція), отже, і до зростання d; іншими словами, збільшення надійності класичної оцінки спричиняє зменшення її точності.
Приклад. Випадкова величина X має нормальний розподіл з відомим середнім квадратичним відхиленням s=3. Знайти довірчі інтервали для оцінки невідомого математичного сподівання a за вибірковими середнім х, якщо обсяг вибірки n=36 і задана надійність оцінки g=0,95.
Рішення. Знайдемо t. Зі сп...
