Федеральне агентство зв'язку
Сибірський Державний Університет Телекомунікацій та Інформатики
Контрольна робота
З дисципліни: Лінійна алгебра
Новосибірськ, 2014р
1. Формули Крамера для розв'язання систем лінійних рівнянь
Система лінійних рівнянь порядку n має вигляд:
При цьому числа -називають коефіцієнтами при невідомих
-Вільний члени
Матриця називається матрицею системи
Числа - рішення системи якщо
підстановці цих чисел в систему кожне з рівнянь системи перетворюється на правильне числове тотожність.
Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має принаймні одне рішення.
Якщо система лінійних рівнянь не має рішень, то система називається несумісною.
Формули Крамера. Розглянемо систему рівнянь (*). І нехай А- матриця системи
Якщо i -столбец замінимо вільними членами, то відповідну матрицю позначимо
Якщо система лінійних рівнянь (*) така, що визначник системи відмінний від нуля, то система лінійних рівнянь має єдине рішення, яке знаходиться за формулою:
2. Знайти проекцію точки М 0 (- 8; 12) на пряму, що проходить через точки А (2; - 3), В (- 5; 1)
Рішення:
Напишемо рівняння прямої що проходить через точки А (2; - 3) і В (- 5; 1)
Або
Відзначимо що кутовий коефіцієнт дорівнює. Тому у прямій, яка перпендикулярна даній, кутовий коефіцієнт дорівнюватиме, і рівняння цього перпендикуляра, що проходить через точку М 0 (- 8; 12) має вигляд:
Залишилося знайти точку перетину перпендикуляра і вихідної прямій. Так знайдемо потрібну проекцію. Іншими словами треба вирішити систему рівнянь:
Злегка перетворивши отримаємо:
Висловивши одну змінну через іншу з першого рівняння і підставивши цей вираз в друге рівняння, знайдемо спочатку одне, а потім і друге.
Відповідь: х=- 12; y=5.
. Дослідити і знайти рішення системи
Вирішимо систему методом Гаусса. Запишемо систему в матричному вигляді і виконаємо елементарні перетворення
точка лінійний рівняння матричний
Т.к. додавання стовпця з нулів 9 вільних членів) не може підвищити ранг матриці. Ранг розширеної матриці дорівнює рангу матриці, але менше числа невідомих (4=4, 1 lt; 4) отже (згідно теореми Кронекера-Капеллі) система сумісна і має нескінченну безліч рішень, в тому числі і нульовий розв'язок: (0,0,0, 0).
Загальне рішення системи має вигляд:
Базисні рішення:
Фундаментальна система рішень
Відповідь:
Примітка: Вирішити методом Крамера і методом зворотної матриці можна, тому необхідно щоб (а у даної матриці).
