Вступ
Сучасний економіст повинен добре володіти кількісними методами аналізу. До такого висновку неважко прийти практично з самого початку вивчення економічної теорії. При цьому важливі як знання традиційних математичних курсів (математичний аналіз, лінійна алгебра, теорія ймовірностей), так і знання, необхідні безпосередньо в практичної економіки та економічних дослідженнях (математична та економічна статистика, теорія ігор, економетрика та ін.).
Математика є не тільки знаряддям кількісного розрахунку, але також методом точного дослідження. Вона служить засобом гранично чіткою і ясною формулювання економічних понять і проблем.
Ф. Енгельс свого часу зауважив, що лише диференціальне числення дає природознавству можливість зображати математично не тільки стану, а й процеси: рух raquo ;. Тому метою моєї роботи є з'ясувати, який економічний зміст похідної, які нові можливості для економічних досліджень відкриває диференціальне числення, а також досліджувати застосування похідною під час вирішення різних видів завдань з економічної теорії.
1. Означення похідної
Нехай функція y=f (х) визначена в деякій околиці точки х0. Для будь-якої точки х з цієї околиці прирощення D x визначається формулою D x=х - х0, звідки х=х0 + D x.
приріст функції y=f (x) в точці х0 називається різниця
D у=f (x) - f (x0)=f (x0 + D x) - f (x0).
Похідній від функції у=f (x) в точці х0 називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу (), коли приріст аргументу прямує до нуля (D x? 0).
Похідна функції у=f (x) в точці х0 позначається y (х0) або f (х0). Означення похідної можна записати у вигляді формули:
похідна диференціал маржиналізм попит
'()==.
Якщо функція в точці х0 має кінцеву похідну, то вона називається диференційованою в точці х0. Якщо вона диференційовна в усіх точках проміжку X, то кажуть, вона диференційовна на всьому цьому проміжку.
Звичайно, може не існувати. У цьому випадку говорять, що функція f (x) не має похідної в точці х0. Якщо дорівнює або, то кажуть, що функція f (x) має в точці х0 нескінченну похідну (рівну або, відповідно).
1.1 Геометричний зміст поняття похідною
Нехай на площині x0y дана безперервна крива y=f (x) (див. рис. 1).
Розглянемо на графіку кривої точки Mo (xo; f (xo)) і M1 (xo + D x; f (xo + D x)). Проведемо січну MoM1. Нехай - кут нахилу січної MoM1 щодо осі 0х. Якщо існує межа, то пряма, через Mo і утворює з віссю 0х кут, називається дотичної до графіка даної кривої в точці Mo. Таким чином, під дотичної до кривої y=f (х) в точці Mo природно розуміти граничне положення січної MoM1, до якого вона прагне, коли D x ® 0.
Нехай N (xo + D x; f (xo)) - точка, яка доповнює відрізок MoM1 до прямокутного трикутника MoM1N. Так як сторона MoN паралельна осі 0х, то
Переходячи до межі в лівій і правій частинах цієї рівності при D x? 0, отримаємо
Тому геометричний зміст похідної полягає в тому, що f (x0) - це тангенс кута нахилу (кутовий коефіцієнт) дотичної до графіка y=f (х) в точці (xo; f (xo)).
Знайдемо рівняння дотичної до графіка в точці Mo (xo; f (xo)) у вигляді y=kx + b. Так як Mo f (x), то повинно виконуватися рівність f (x0)=kx0 + b, звідки b=f (x0) - kx0. Отже, дотична задається рівнянням
y=kx + f (x0) - kx0=f (x0) + k (x - x0).
Оскільки k=f '(x0), то рівняння дотичної має вигляд
=f (x0) + f '(x0) (x - x0).
Як обчислюють похідну?
. Записують функцію у вигляді y=f (х).
. Обчислюють D y - приріст функції: D у=f (x + D x) - f (x).
. Складають ставлення
. Уявляють, що D x прагне до нуля, і переходять до межі=y '(х0).
. Обчислюють похідну в точці х0: y (х)=y (х0).
Операція обчислення похідної називається диференціюванням.
Приклади диференціювання:
D y=a (x + D x) 2 - ax2=2ax D x + a D x2;
=2ax + D x; =2ax,? (ах2) '= 2ax.
;
=;
=3x2,? (x3) '= 3x2.
;
=-,?
. 2 Диференціал функції
<...
