br />
Диференціалом функції f (х) в точці х0 називається лінійна функція приросту виду
Диференціал функції y=f (х) позначається dy або df (x0). Головне призначення диференціала полягає в тому, щоб замінити прирощення на лінійну функцію від, зробивши при цьому, по можливості, меншу помилку.
Наявність кінцевої похідною дає можливість представити приріст функції у вигляді
де при. З цього випливає, що помилка в наближеному рівність (рівна) є нескінченно малою більш високого порядку, ніж, коли. Це часто використовують при наближених обчисленнях.
. 3 Застосування похідної до дослідження функцій
Дуже часто при вирішенні економічних завдань виникає необхідність прийняти рішення на основі дослідження та аналізу функцій попиту, пропозиції, витрат, прибутку і т.д. При цьому зручно користуватися диференціальним численням.
. Зростання/спадання функції
Якщо диференціюється функція y=f (х), х зростає на інтервалі то f '(x0) для будь-якого х0
Якщо диференціюється функція y=f (х), х убуває на інтервалі то f '(x0) для будь-якого х0
. Екстремуми функції
Точка х0 з області визначення функції f (х) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться така - околиця точки х0, що для всіх з цієї околиці виконується нерівність f (х) gt; f (х0).
Точка х0 з області визначення функції f (х) називається точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться така - околиця точки х0, що для всіх з цієї околиці виконується нерівність f (х) lt; f (х0).
Точки мінімуму і максимуму називаються точками екстремуму, а значення функції в цих точках називаються екстремумами функції.
Необхідні умови існування екстремуму дає теорема Ферма:
Нехай функція y=f (x) визначена на інтервалі (a, b) і в деякій точці x0 цього інтервалу приймає найбільше або найменше значення. Тоді можливі тільки два випадки:
1) похідна функції f '(x0) не існує;
2) f '(x0)=0.
Точки, в яких похідна функції звертається в нуль або не існує, називаються критичними точками (першого роду). Екстремум функції, якщо він існує, може бути тільки в критичних точках. Однак не у всякій критичній точці функція має екстремум. Тому, щоб з'ясувати, в яких точках функція має екстремум, необхідно знати достатні умови існування екстремуму.
Перше достатня умова екстремуму. Нехай функція y=f (х) неперервна в точці х0 і в деякій її - околиці має похідну, крім, можливо, самої точки х0. Тоді:
) якщо похідна f '(x) при переході через точку х0 змінює знак з плюса на мінус, то х0 є точкою максимуму.
) якщо похідна f '(x) при переході через точку х0 змінює знак з мінуса на плюс, то х0 є точкою мінімуму.
) якщо похідна при переході через точку х0 не змінює знак, то в точці х0 функція f (x) не має екстремуму.
Друге достатня умова екстремуму. Якщо функція y=f (х) визначена і двічі диференційовна в деякій околиці точки х0, причому f (x0)=0, а f (x0) 0, то в точці х0 функція f (х) має максимум, якщо f (x0) lt; 0, і мінімум, якщо f '(x0) gt; 0.
. Опуклість графіка функції
Графік функції y=f (х), х (a, b) називається опуклим вгору (увігнутим вниз) на інтервалі (a, b), якщо графік розташований нижче (точніше не вище) будь-якої своєї дотичній. Сама функція f (х) також називається опуклою вгору (увігнутою вниз).
Графік функції y=f (х), х (a, b) називається опуклим вниз (увігнутим вгору) на інтервалі (a, b), якщо графік розташований вище (точніше не нижче) будь-якої своєї дотичній. Сама функція f (х) також називається опуклою вниз (увігнутою вгору).
На інтервалі опуклості вгору (угнутості вниз) похідна функції убуває. На інтервалі опуклості вниз (угнутості вгору) похідна f '(x) зростає.
Достатня умова опуклості графіка функції. Якщо на інтервалі (a, b) двічі диференціюється функція y=f (х), х (a, b) має негативну (позитивну) похідну другого порядку, то графік функції є опуклим вгору (вниз).
Дослідити на опуклість графік функції y=f (х) означає знайти ті інтервали з області її визначення, в яких друга похідна f (x) зберігає свій знак. Необхідно зауважити, що f (x) може змінювати свій знак лише в точках, де f (x)=0 або не існує. Такі точки прийнято називати критичними точками другого роду.
2. Економічний сенс поняття похідною
. 1 Граничні величини...
