Зміст
Введення
. Послідовність Фібоначчі
. Властивості послідовності Фібоначчі
. Послідовність Фібоначчі і золотий перетин
. Завдання, пов'язані з послідовністю Фібоначчі
. Числа Каталана
Висновок
Список літератури та інших джерел
Введення
Дана дослідницька робота присвячена розгляду деяких числових послідовностей, заданих рекуррентно, їх властивостей і завдань з ними пов'язаних. Цього матеріалу немає в шкільній програмі, при вивченні числових послідовностей ми стикаємося з рекурентним завданням лише на прикладі арифметичної і геометричної прогресій, але вивчення таких послідовностей - досить захоплюючий процес.
Теорія з даного питання досить проста, лаконічна, що пронизує всі розділи математики, застосовна як у геометрії, так і в математичному аналізі. Завдання, розглянуті в цій роботі, належать найбільшим математикам. Основи цієї теорії були вперше опубліковані в середині вісімнадцятого століття. В останні роки змінився кругозір читачів математичної літератури, і багато досягнень в теорії чисел, що згадуються в популярній літературі, не підкріплені знаннями читачів. Тому хотілося б розглянути одні з найвідоміших послідовностей, заданих рекурентним способом, вивчити їх властивості і значимість в історії розвитку математики.
1. Послідовність Фібоначчі
Давня історія багата на видатні математиками. Багато досягнень стародавньої математичної науки досі викликають захоплення гостротою розуму їх авторів, а імена Евкліда, Архімеда, Герона відомі кожній освіченій людині. Інакше йде справа з математикою середньовіччя. Крім Франсуа Вієта, який жив, втім, вже в шістнадцятому сторіччі, і математиків ближчих нам часів, шкільний курс математики не називає жодного імені, що відноситься до середніх століть. Це, звичайно, не випадково. Математика в цю епоху розвивалася надзвичайно повільно, і великих математиків тоді було дуже мало.
Тим більший інтерес представляє для нас твір Liber abacci ( Книга про абаці ), написана знаменитим італійським математиком Леонардо з Пізи, який відомий більше по своєму прізвиську Фібоначчі (Fibonacci - скорочене filius Bonacci, т. е. син Боначчі). Ця книга, написана 1202 р, дійшла до нас у другому своєму варіанті, який відноситься до 1228
Liber abacci являє собою желеподібний праця, що містить майже всі арифметичні і алгебраїчні відомості того часу і зіграв помітну роль в розвитку математики в Західній Європі протягом кількох наступних століть. Зокрема, саме по цій книзі європейці познайомилися з індуськими ( арабськими ) цифрами. Повідомлюваний в Liber abacci матеріал пояснюється на великому числі завдань, які становлять значну частину цього трактату.
Серед багатьох завдань він привів наступну:
Пара кроликів приносить раз на місяць приплід з двох кроленят (самця і самки), причому молоді кроленята через два місяці після народження вже приносять приплід. Скільки кроликів з'явиться через рік, якщо на початку року була одна пара кроликів? Raquo;
З умови задачі випливає, що через місяць буде дві пари кроликів. Через місяць приплід дасть тільки перша пара кроликів, і вийде три пари. А ще через місяць приплід дадуть і вихідна пара кроликів, і пара кроликів. З'явилися два місяці тому. Тому все буде п'ять пар кроликів.
Перейдемо тепер від кроликів до чисел розглянемо наступну числову послідовність:
(n): 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34;...
в якій кожен член дорівнює сумі двох попередніх членів, т. е. при всякому
gt; 2 (n)=F (n - 1) + F (n - 2) або an=an - 1 + an - 2 (1)
Такі послідовності, в яких кожен член визначається як деяка функція попередніх (причому рівність (1) може містити деякі коефіцієнти перед an - 1 і an - 2), часто зустрічаються в математиці і називаються рекурентними або,-русски, зворотніми послідовностями.
Поняття поворотної послідовності є широким узагальненням поняття арифметичної або геометричної прогресії. Як окремі випадки воно охоплює також послідовності квадратів або кубів натуральних чисел, послідовності цифр десяткового розкладання раціонального числа (і взагалі будь періодичні послідовності), послідовності коефіцієнтів приватного від ділення двох многочленів, розташованих по зростаючим ступеням х, і т. Д. Звідси видно, що з поворотними послідовностями в курсі математики середньої школи доводиться зустрічатися досить часто. Теорія зворотних послідовностей складає особливу главу математичної дисципліни, званої обчисленням кінцевих різниць. Основи теорії зворотних ...
