послідовностей були розроблені і опубліковані в двадцятих роках вісімнадцятого століття французьким математиком Муавром і одним з перших за часом членів Петербурзької Академії наук швейцарським математиком Данилом Бернуллі. Розгорнуту теорію дав найбільший математик вісімнадцятого століття петербурзький академік Леонард Ейлер, що присвятив поворотним послідовностям тринадцятий главу свого Введення в аналіз нескінченно-малих .
Кількість доданків у правій частині рівності (1) визначає порядок поворотної послідовності. Само рівність (1) називають рівнянням поворотної послідовності.
Зауважимо, що по одному тільки рекурентному умові не можна обчислити члени послідовності, т. к. за таким умові можна скласти нескінченно багато послідовностей. Для однозначного побудови послідовності необхідно задати додаткові умови - кілька перших членів.
У послідовності Фібоначчі початковими членами є дві одиниці.
Дотепер ми визначали число Фібоначчі рекуррентно, т. е. індуктивно, за їх номером. Виявляється число цієї послідовності можна визначити і безпосередньо, аналітично - як певну функцію номера.
Досліджуємо для цього різні послідовності, що задовольняють співвідношенню (1).
Всі такі послідовності будемо називати рішеннями рівняння.
Будемо позначати буквами V, V/і V//відповідно послідовності
v 1, v 2, v 3, ...
v 1 /, v 2 /, v 3 /, ...
v 1 //, v 2 //, v 3 //, ...
Є дві прості леми:
) Якщо V є рішення рівняння (1), і з - довільне число, то послідовність cV є також рішення даного рівняння.
) Якщо послідовності V і V" є рішеннями рівняння (1), то і їх сума також є рішенням даного рівняння.
Нехай тепер V/і V//дві непропорційних рішення рівняння (1), т. е. такі, що за будь постійному З знайдеться такий номер n, що
Покажемо, що всяку послідовність V можна представити у вигляді:
C 1 V/+ C 2 V//(2), де C 1 і C 2 - деякі постійні.
Т. к. послідовності V/і V//непропорційні, то непропорційні і її відповідні члени (це твердження можна довести методом від протилежного, застосувавши індукцію).
Тепер знайдемо послідовність V, вона буде визначена, якщо задані її два початкові члена.
Щоб V=C 1 V/+ C 2 V //, знайдемо такі з 1 і з 2, щоб мала місце система:
c 1 v 1/+ c 2 v 1 //=v 1,
c 1 v 2/+ c 2 v 2 //=v 2.
Тоді на підставі двох лем, зазначених раніше, C 1 V/+ C 2 V//дасть нам послідовність V.
У силу непропорційності послідовностей, ця система буде розв'язна відносно c 1 і c 2, які б не були при цьому числа v 1, v 2.
Знаменник цих дробів не може бути дорівнює нулю. а підставивши отримані значення в C 1 V/+ C 2 V//ми і отримаємо необхідну представлення послідовності V. Для отримання всіх рішень рівняння V=C 1 V/+ C 2 V //, нам досить знайти два його якісь непропорційні рішення. Будемо шукати ці рішення серед геометричних прогресій. Відповідно до леми №1, ми маємо право вибрати тільки такі прогресії, перший член яких дорівнює 1.
Отже. візьмемо прогресію: 1; q; q 2;...
Щоб вона була рішенням рівняння V=C 1 V/+ C 2 V //, необхідно. щоб для будь-якого n виконувалося qn - 2 + qn - 1=qn або 1 + q=q 2.
Коріння цього квадратного рівняння і.
з 1 + з 2=1 і
з 1 + з 2=1
Вирішивши цю систему, отримаємо:
з 1 =, за 2 =,
звідки V =.
Ця формула називається формулою Біне (по імені отримав її математика). Отримана формула і є аналітичне завдання послідовності Фібоначчі F (n).
2. Властивості послідовності Фібоначчі
Послідовність Фібоначчі володіє рядом властивостей.
Виведемо вираз цих чисел через. Для цього встановимо зв'язок між числами даної послідовності і наступної комбінаторної завданням.
Знайти число n - послідовностей, що складаються з нулів і одиниць, в яких ніякі дві одиниці не йдуть підряд .
Щоб встановити цей зв'язок згадаємо задачу про кроликів, з якої ми почали наше знайомство з послідовністю чисел Фібоначчі; зіставимо послідовності, про яку йде мова в умові, пару кроликів за правилом: одиницям відповідають місяці появи на світ однієї з п...
