Міністерство освіти і науки Республіки Казахстан
Євразійський національний університет ім. Л.Н. Гумільова
Факультет інформаційних технологій
Кафедра системного аналізу та управління
Реферат
Тема: Визначення функції Ляпунова та реалізація в Matlab
Виконала:
студентка групи АБ - 35К
Ас? арів А.С.
Перевірила:
викладач Єрмекбаєва Ж.Ж.
г. Астана 2014
Зміст
. Визначення функції Ляпунова
. Теореми про стійкість
. Теореми про нестійкість
. Методичний приклад
1. Визначення функції Ляпунова
Функція Ляпунова являє собою скалярну функцію, задану на фазовому просторі системи, за допомогою якої можна довести стійкість положення рівноваги. Метод функцій Ляпунова застосовується для дослідження стійкості різних диференціальних рівнянь і систем. Нижче ми обмежимося розглядом автономних систем
мають нульове положення рівноваги X ? 0.
Припустимо, що в деякій околиці U початку координат задана безперервно диференціюється функція
Нехай V ( X ) gt; 0 для всіх X ? U {0}, а на початку координат V (0)=0. Такими функціями є, наприклад, функції виду
Знайдемо повну похідну функції V ( X ) за часом t :
Це вираз можна записати у вигляді скалярного добутку двох векторів:
Тут перший вектор являє собою градієнт функції V ( X ), тобто він завжди спрямований у бік найбільшого зростання функції V ( X ). Як правило, функція V ( X ) зростає при видаленні від початку координат, тобто за умови | X |? ?. Другий вектор в скалярному творі? це вектор швидкості руху. У будь-якій точці він спрямований по дотичній до фазової траєкторії.
Розглянемо випадок, коли похідна функції V ( X ) в околиці U початку координат негативна:
Це означає, що кут ? між вектором градієнта і вектором швидкості більше 90 °. Для функції двох змінних це схематично показано на малюнках 1 і 2.
Очевидно, що якщо похідна dV / dt уздовж фазової траєкторії усюди негативна, то траєкторія руху прагне до початку координат, тобто система є стійкою. В іншому випадку, коли похідна dV / dt позитивна, траєкторія прагне від початку координат, тобто система є нестійкою.
Перейдемо до суворим формулювань.
Функція V ( X ), безперервно диференціюється в деякій околиці U початку координат, називається функцією Ляпунова автономної системи
якщо виконані наступні умови:
2. Теореми про стійкість
диференційний рівняння matlab алгоритм
Теорема про стійкість в сенсі Ляпунова. Якщо в деякій околиці U нульового рішення X =0 автономної системи існує функція Ляпунова V ( X ), то становище рівноваги X =0 є стійким за Ляпуновим .
Теорема асимптотичну стійкість. Якщо в деякій околиці U нульового рішення X =0 автономної системи існує функція Ляпунова V ( X ) з негативно певної похідною dV / dt lt; 0 для всіх X ? U {0}, то становище рівноваги X =0 є
