> асимптотично стійким .
Як видно, для асимптотичної стійкості нульового рішення потрібно, щоб повна похідна dV / dt була строго негативною (негативно визначеній) в околиці початку координат.
3. Теореми про нестійкість
Теорема Ляпунова про нестійкість. Нехай в околиці U нульового рішення X =0 існує безперервно диференціюється функція V ( X ), така, що
1. V (0)=0;
2. dV / dt gt; 0.
Якщо в околиці U є точки, в яких V ( X ) gt; 0, то нульовий розв'язок X =0 є нестійким .
Теорема Четаева про нестійкість. Нехай в околиці U нульового рішення X =0 автономної системи існує безперервно диференціюється функція V ( X ). Нехай околиця U містить підобласть U 1, що включає початок координат (рис.3), таку, що
1. V ( X ) gt; 0 для всіх X ? U 1 {0};
2. dV / dt gt; 0 для всіх X ? U 1 {0};
3. V ( X )=0 для всіх < i align="justify"> X ? ? U 1,
де ? U 1 позначає межу підобласті U 1.
Тоді нульове рішення X =0 системи нестійко . У цьому випадку фазові траєкторії в підобласті U 1 будуть прагнути від початку координат.
Таким чином, функції Ляпунова дозволяють встановити стійкість або нестійкість системи. Перевагою даного методу є те, що тут не потрібно знати саме рішення X ( t ). Крім того, даний метод дозволяє досліджувати стійкість положень рівноваги негрубі систем,? наприклад, у випадку, коли точка рівноваги є центром . Недолік полягає в тому, що не існує загального методу побудови функцій Ляпунова. В окремому випадку однорідних автономних систем з постійними коефіцієнтами функцію Ляпунова можна шукати у вигляді квадратичної форми.
Приклад 1
Дослідити на стійкість нульовий розв'язок нелінійної системи
Рішення.
Очевидно, що якобіан даної системи в точці (0,0) являє собою нульову матрицю:
Власні значення цієї матриці дорівнюють нулю: ? 1,2=0. Тому метод дослідження стійкості по першому наближенню непридатний.
Подивимося який результат можна отримати, використовуючи функцію Ляпунова. В якості такої функції візьмемо
яка є позитивно певної всюди, крім початку координат. Обчислимо повну похідну:
Тут знову, як і в попередньому прикладі, похідна тотожно дорівнює нулю. Це означає, що нульовий розв'язок системи стійко ( в сенсі Ляпунова ).
Приклад 2
Дослідити на стійкість нульовий розв'язок системи, використовуючи метод функцій Ляпунова:
Рішення.
В якості можливої ??функції Ляпунова виберемо функцію виду
Очевидно, ця функція є позитивно певної всюди, крім початку координат, де вона дорівнює нулю. Обчислимо її похідну (в силу даної системи):
Як видно, похідна є негативно певної всюди, крім точки (0,0). Тоді нульове рішення буде асимптотично стійким .
Використовуючи метод першого наближення, можна переконатися, що нульове положення рівноваги являє собою стійкий фокус . Дійсно, власні значення линеаризованной системи є комплексно-сполученими числами з негативною дійсною частиною:
. Методичний приклад
