МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Федеральне агентство з освіти
Державне освітній заклад
Вищого професійного навчання
В«Оренбурзький державний університет В»
Факультет економіки та управління
В
Кафедра математичного забезпечення інформаційних систем
В
Курсова РОБОТА
В
по дисципліни В«Чисельні методиВ»
В
Прямий метод обертання вікового визначника
В В
ОМУ 061800.8006.18 ТОВ
В В
Керівник роботи
____________________Ващук І.М.
В«_____В» _______________ 2006
Виконавець студент гр. 04ММЕ
________________Шіробоков П.Д.
В«_____В» ________________ 2006
Оренбург 2006
Зміст
В
Введення. 3
Постановка завдання .. 4
Опис методу. 5
Збіжність методу. 8
Опис вхідних та вихідних даних. 9
Висновок. 10
Список літератури .. 11
Додаток А.. 12
Додаток Б.. 19
В В В
Введення
Чисельні методи вирішення проблеми власних значень до кінця 40-х років, зводилися, в основному, до вирішення характеристичного рівняння. При реалізації такого підходу, основні зусилля були спрямовані на розробку ефективних методів швидкого обчислення коефіцієнтів характеристичного рівняння. Такі методи мають назви прямих. Популярним методом цього типу є метод Данилевського. Він давав досить велику похибку, але в теж час мав дуже велику швидкість отримання результату. p> Ми вживатимемо спробу аналізу можливості використання цього методу в сучасних умовах. Спробуємо позначити можливі межі застосування цього методу, і так само знайти галузі науки, де користуватися методом Данилевського було б дуже зручно. <В
Постановка завдання
Велике число задач математики і фізики вимагає відшукання власних значень і власних векторів матриць, тобто відшукання таких значень +, для яких існують нетривіальні рішення однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь
, (1)
і відшукання цих нетривіальних рішень.
Тут-квадратна матриця порядку m, - невідомий вектор - стовпець.
З курсу алгебри відомо, що нетривіальне рішення системи (1) існує тоді і тільки тоді, коли
, (2)
де Е - одинична матриця. Якщо розкрити визначник, отримаємо алгебраїчне рівняння ступеня m відносно. Таким чином завдання відшукання власних значень зводиться до проблеми розкриття визначника по ступенями і наступного рішення алгебраїчного рівняння m - го ступеня.
Визначник називається характеристичним (або віковим) визначником, а рівняння (2) називається характеристичним (або віковим) рівнянням.
Розрізняють повну проблему власних значень, коли необхідно відшукати всі власні значення матриці А і відповідні власні вектори, і часткову проблему власних значень, коли необхідно відшукати тільки деякі власні значення, наприклад, максимальне за модулем власне значення.
В
Опис методу
Ідея методу Данилевського полягає в тому, що матриця А приводиться до "нормальної формі Фробеніуса ", що має вигляд:. p> Характеристичне рівняння для матриці Р має простий вигляд
В
тобто коефіцієнти при ступенях характеристичного полінома безпосередньо виражаються через елементи першого рядка матриці Р.
Приведення матриці А до нормальної форми Фробеніуса Р здійснюється послідовно построк, починаючи з останнього рядка.
1. Наведемо матрицю
до виду
Нехай Можна перевірити, що такий вид має матриця, яка дорівнює
де
В
Наступний крок - приведення подібним перетворенням к.В p> Таким чином
І так далі:
2. Розглянемо нерегулярний випадок, коли матриця, отримана в результаті подібних перетворень наведена вже до виду
і елемент. p> Таким чином звичайна процедура методу Данилевського не підходить через необхідність поділу на нуль. У цій ситуації можливе два випадки. p> 2.1 Припускаємо, що лівіше є елемент Тоді Домножимо матрицю зліва і справа на елементарну матрицю перестановок, отримуємо матрицю. p> У результаті на необхідному нам місці виявляється ненульовий елемент, вже перетворена частина матриці не змінюється, можна застосовувати звичайний крок методу Данилевського до матриці. p> 2.2 Розглянемо другий нерегулярний випадок, коли в матриці елемент і всі елементи лівіше, теж нульові. У цьому випадку характеристичний визначник матриці можна представити у вигляді
де і - одиничні матриці відповідної розмірності, а квадратні матриці і імєєют вигляд:
Звернемо увагу на те, що матриця вже має нормальну форм...
