у Фробеніуса, і тому співмножник просто розгортається у вигляді многочлена з коефіцієнтами, рівними елементам першого рядка.
множники потрібно перетворювати. Для розгортання можна застосовувати метод Данилевського, приводячи матрицю подібними перетвореннями до нормальної форми Фробеніуса.
Зазначений підхід стає незадовільним при обчисленні власних значень матриць, мають порядок m в кілька десятків (і тим більше сотень). Зокрема, одним з недоліків є так само те, що точність обчислення коренів многочлена високого ступеня даним методом надзвичайно чутлива до похибки (Накапливающейся зі швидкістю геометричної прогресії) в коефіцієнтах, і на етапі обчислення останніх може бути в значній мірі втрачена інформація про власні значеннях матриці. p> Тести методу і ПО см. У Додатку Б.
В
Збіжність методу
Визначення. Квадратна матриця Р порядку m називається подібної матриці А, якщо вона представлена ​​у вигляді, де S - невиродженная квадратна матриця порядку m.
Теорема. Характеристичний визначник вихідної і подібної матриці збігаються. p> Доказ. <В
Ідея методу Данилевського полягає в тому, що матриця А подібним перетворенням наводиться, до так званої нормальної формі Фробеніуса
.
Теорема. Нехай є є власне значення , А є відповідний власний вектор матриці Р, яка подібна матриці А , Тобто p> Тоді є власний вектор матриці А, що відповідає власному значенню
Доказательство.Трівіально випливає з того, що
Домножимо ліву та праву частину цієї рівності ліворуч на S, маємо
А це й означає, що-власний вектор матриці А, відповідає власному значенню
В
Опис вхідних і вихідних даних
Вхідні параметри:
Квадратна матриця порядку n * n. Рекомендується, щоб вона була добре обумовлена. p> Вихідні параметри:
Отримуємо коефіцієнти при ступенях характеристичного полінома. Вирішуючи дане рівняння отримуємо власні значення вихідної матриці. Наступним кроком є визначення власних векторів. p>. <В
Висновок
Позначимо деякі висновки за виконану роботу:
Під час освоєння даного методу ми не могли пропустити деякі мінуси методу Данилевського:
- Похибка накопичується зі швидкістю геометричної прогресії.
- Доводиться вирішувати досить складне рівняння порядку n (якщо вирішувати за допомогою наближених метод, знову отримуємо деяку похибка)
- У програмному варіанті використовуються досить великі обсяги оперативної пам'яті, наприклад, доводиться зберігати до 4 матриць порядку n * n.
Але так само не можна не зупинитися на очевидних плюсах методу:
- Метод зручний для знаходження власних векторів практично будь матриці. Рекомендується розглядати матриці менше порядку декількох десятків. p> - Даний метод дуже зручний у програмуванні (на етапі розробки ПЗ проблем практично не виникало).
У цілому метод все-таки не рекомендується для вирішення завдань, що вимагають високих точностей. Але через свою простоту, і високої швидкості, підходить для великих масивів, чи не вимагають відсутність похибки.
В
Список літератури
1. Основи чисельних методів: Підручник для вузів/В.М. Вержбицький. - М.: Вища. Шк., 2002. - 840 с.: Іл. p> 2. Вища математика для економістів: Підручник для вузів/Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, І.М. Трішин, М.Н. Фрідман; Під ред. проф. Н.Ш. Кремера. - 2-е вид., Перераб. і доп. - М.: ЮНИТИ, 2004. - 471 с. p> 3. Інтернет. p> 4. Біблія Delphi/М.Є. Фленов - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 880 с.: Іл. <В
Додаток А
unit MainUnit;
interface
uses
Windows, ..., Buttons;
type
Matrix = array of array of real;
TForm1 = class (TForm)
...
private
{Private declarations}
// Процедура "Перестановки" матриці, повертає true якщо все добре
function Remove (Var rez: Matrix; i: integer): boolean;
// Множення 2-х матриць
procedure Multiple (a, b: Matrix; Var rez: Matrix);
// Повернення рішень
function FindDet (Var a: Matrix): string;
// Обнулення матриць
procedure Zero (Var a: Matrix);
public
{Public declarations}
end;
var Form1: TForm1;
implementation
{$ R *. dfm}
function TForm1.FindDet (Var a: Matrix): string;
Var i, j: integer;
M, Mob, bac: Matrix;
flag: boolean;
begin
SetLength (M, Length (a [1]), Length (a [1]));
SetLength (Mob, Length (a [1]), Length (a [1]));
SetLength (bac, Length (a [1]), Length (a [1]));
flag: = true;
for i: = Length (a [1]) -2 downto 0 do
// Побудова матриць
BEGIN
// Обробка випадку 2.1
if (a [i +1, i] = 0) and (not Remove (a, i)) then
b...
