Обчислення коренів нелінійного рівняння з заданою точністю
Введення
програмний лінійний рівняння хорда
У сучасному виробництві значна роль відводиться розробкам на комп'ютері.
Зараз неможливо уявити собі інженера, займається розробкою нових конструкцій без використання ЕОМ. Практично жодне навіть найдрібніше підприємство зараз не обходиться без комп'ютерної техніки. Комп'ютер є наймогутнішим засобом для реалізації різних проектів. Однак, без необхідного програмного забезпечення комп'ютер не в змозі зробити нічого. Кожен інженер повинен вміти не тільки користуватися комп'ютером, але і складати для нього програми, вирішуючи конкретні завдання для реально сформованих умов.
Все в світі програмування грунтується на взаємодії людина - ЕОМ і здійснюється за допомогою мов програмування. Проте останнім часом з'явилися і стандартні засоби, які значно полегшують роботу розробника. Одним з таких пакетів є MathCad. Даний програмний продукт надає значні можливості для розробки програм для вирішення інженерних завдань. Створені в пакеті розрахункові моделі відрізняються простотою і наочністю, а також легко коригуються.
Мета курсової роботи - обчислення коренів нелінійного рівняння з заданою точністю.
1. Теоретичні відомості до роботи
.1 Методика рішення нелінійних рівнянь
У загальному випадку нелінійне рівняння з одним невідомим можна записати у вигляді:
, (1)
де - деяка безперервна функція аргументу x .
Будь-яке число, що звертає функцію в нуль, тобто при якому, називається коренем рівняння (1).
При чисельному підході задача про рішення нелінійних рівнянь розбивається на два етапи: локалізація (відділення) коренів, тобто знаходження таких відрізків на осі x , в межах яких міститься один єдиний корінь, і уточнення коренів , тобто обчислення наближених значень коренів із заданою точністю.
Для відділення коренів рівняння (1) необхідно мати критерій, що дозволяє переконається, що, по-перше, на розглянутому відрізку мається корінь, а, по-друге, що цей корінь єдиний на вказаному відрізку. Якщо функція неперервна на відрізку, а на кінцях відрізка її значення мають різні знаки, то на цьому відрізку розташований, принаймні, один корінь. Ця умова (як видно з малюнка 1) не забезпечує єдиності кореня. Достатнім додатковою умовою, що забезпечує єдиність кореня на відрізку є вимога монотонності функції на цьому відрізку. Як ознаки монотонності функції можна скористатися умовою знакопостоянства першої похідної.
Малюнок 1 - Відділення коренів. Функція f (x) не є монотонною на відрізку [a, b]
Таким чином, якщо на відрізку функція неперервна і монотонна, а її значення на кінцях відрізка мають різні знаки, то на розглянутому відрізку існує один і тільки один корінь. Зауважимо, що під цей критерій не підпадають кратні корені рівнянь, наприклад, очевидний корінь рівняння
Скориставшись цим критерієм можна відокремити коріння аналітичним способом, знаходячи інтервали монотонності функції.
Відділення коренів можна виконати графічно , якщо вдається побудувати графік функції [4, стор. 119].
1.2 Уточнення коренів методом половинного ділення
Малюнок 2 - Метод половинного ділення
Вважаємо, що відділення коренів рівняння (1) проведено і на відрізку розташований один корінь, який необхідно уточнити з похибкою e . В якості початкового наближення кореня приймаємо середину цього відрізка: (рис. 2). Потім досліджуємо значення функції на кінцях відрізків і. Той з відрізків, на кінцях якого приймає значення різних знаків, містить шуканий корінь; тому його приймаємо в якості нового відрізка (на рис. 2 це відрізок). Другу половину відрізка, на якій не змінює знак, відкидаємо. В якості наступного наближення кореня приймаємо середину нового відрізка і т.д. Таким чином, k -е наближення обчислюється як
. (2)
Після кожної ітерації відрізок, на якому розташований корінь, зменшується вдвічі, а після k ітерацій в раз:
. (3)
