1. Аналіз завдання
.1 Дослідження предметної області
У практиці наукових та інженерних розрахунків часто виникає необхідність вирішення рівнянь виду f (x) = 0. Якщо функція являє многочлен, то дане рівняння називається алгебраїчним. Якщо знаходиться під знаком транстендентной функції (показовою, логарифмічною, тригонометричної і т.п.), рівняння називається транстендентним. Значення х, при якому виконується умова f (x) = 0, називається коренем рівняння. p align="justify"> У загальному випадку функції f (x) = 0 не мають аналітичних формул для своїх коренів. Проте точне рішення рівняння не є необхідним. Дійсно, зустрічаються на практиці рівняння часто містять коефіцієнти, величини яких мають наближені значення. У силу цього розроблені чисельні методи рівнянь, які дозволяють визначати наближені значення коренів із заданою ступенем точності. p align="justify"> Процес відшукання кореня рівняння складається з двох етапів:
) знаходження наближеного значення кореня;
) уточнення наближеного значення до деякої заданої ступеня точності.
Перший етап реалізується різними способами. Наближене значення кореня може бути відомо, наприклад, з фізичного змісту задачі. При виділенні області, в межах якої знаходяться речові коріння рівняння, можна скористатися наступним обставиною. Якщо на кінцях деякого відрізка значення неперервної функції f (x) має різні знаки, то на цьому відрізку рівняння f (x) = 0 має хоча б один корінь. p align="justify"> В інженерній практиці поширений графічний спосіб визначення наближених коренів. У цьому випадку будується графік функції y = f (x), абсциси точок перетину якого з віссю Ox дадуть наближені значення коренів. Іноді вдається підібрати більш просте рівняння, корені якого знаходяться поблизу коріння вихідного рівняння. Існує також ряд спеціальних аналітичних методів наближеного знаходження коренів многочленів. p align="justify"> Знайдені наближені значення коренів уточнюють різними ітераційними методами. Найбільш ефективними з них є:
метод розподілу відрізка навпіл;
метод послідовних наближень (методу ітерацій);
метод Ньютона (метод дотичних).
Розглянемо докладніше метод ітерацій, тому що він і є предметом моєї курсової роботи. br/>
1.2 Метод послідовних наближень (методу ітерацій)
Рівняння f (x) = 0 можна представити у формі x =? (x). Наприклад, можна виділити x, а інше перенести в праву частину. Можна також виконати наступне перетворення: x = x + cf (x), де с - довільна постійна. x [0] задається початковим наближенням, а наступні наближення визначаються ітераційної процедурою види: x [n + 1] =? (x [n]). Процес продовжується до тих пір, поки відносна точність для двох послідовних набл...
