ЗМІСТ
Введення
1. Постановка завдання
2. Математичні та алгоритмічні основи рішення завдання
2.1 Опис методу
2.2 Геометрична інтерпретація
3. Функціональні моделі та блок-схеми вирішення завдання
4. Програмна реалізація рішення задачі
5. Приклад виконання програми
Висновок
Список використаних джерел та літератури
ВСТУП
Методи рішення лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще стародавнім грекам. Рішення рівнянь третього і четвертого ступенів були отримані зусиллями італійських математиків Ш. Ферро, Н. Тарталья, Дж. Картал, Л. Феррарі в епоху Відродження. Потім настала пора пошуку формул для знаходження коренів рівнянь п'ятого і більш високих ступенів. Наполегливі, але безрезультатні спроби тривали близько 300 років і завершилися завдяки роботам норвезького математика Н. Абеля. Він довів, що загальна уравне6іе п'ятої і більш високих ступенів нерозв'язні в радикалах. Рішення загального рівняння n-го ступеня
a 0 В№ 0
при n Ві 5 не можна виразити через коефіцієнти за допомогою дій додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до ступінь і добування кореня.
Для неалгебраїчні рівнянь типу
х-cos (x) = 0
завдання ще більш ускладнюється. У цьому випадку знайти для коріння явні вирази, за рідкісним випадком не вдається.
В умовах, коли формули "Не працюють", коли розраховувати на них можна тільки в самих найпростіших випадках, особливого значення набувають універсальні обчислювальні алгоритми. Відомий цілий ряд алгоритмів, що дозволяють вирішити розглянуту задачу.
Якщо записати рівняння в вигляді
f (x) = 0,
то для застосування цих алгоритмів немає необхідності накладати будь-які обмеження на функцію f (x), а передбачається тільки що вона має деякі властивості типу безперервності, діфференцируємості і т.д.
Це ітераційний чисельний метод знаходження кореня (нуля) заданої функції.
Метою даної курсової роботи є Лісп - реалізація знаходження коренів рівняння методом простої ітерації.
1. Постановка завдання
Дано рівняння:
.
Потрібно вирішити це рівняння, точніше, знайти один з його коренів (передбачається, що корінь існує). Передбачається, що F (X) неперервна на відрізку [A; B]. p> Вхідним параметром алгоритму, крім функції F (X), є також початкове наближення - деякий X 0 , від якого алгоритм починає йти. p> Приклад.
Знайдемо корінь рівняння
.
В
Малюнок 1. Функція
Будемо шукати простий корінь рівняння, що знаходиться на відрізку локалізації [-0.4,0].
Наведемо рівняння до виду x = f (x), де
.
Перевіримо умову збіжності:
.
В
Малюнок 2. Графік похідної
Максимальний за модулем значення похідної ітераційної функції досягається в лівому кінці відрізка
В
.
.
Виконаємо 3 ітерації по розрахунковій формулі
x = (x),
1 ітерація.
2 ітерація.
3 ітерація.
2. Математичні та алгоритмічні основи рішення задачі
2.1 Опис методу простих ітерацій
Розглянемо рівняння
f (x) = 0 (2.1)
з відокремленим коренем X [a, b]. Для рішення рівняння (2.1) методом простої ітерації наведемо його до рівносильному увазі:
x = П† (x). (2.2)
Це завжди можна зробити, причому багатьма способами. Наприклад:
x = g (x) В· f (x) + x в‰Ў П† (x),
де g (x) - довільна безперервна функція, яка не має коріння на відрізку [a, b].
Нехай x (0) - отримане-яким способом наближення до кореня x (у простому випадку x (0) = (a + b)/2). Метод простої ітерації полягає в послідовному обчисленні членів ітераційної послідовності:
x (k +1) = П† (x (k) ), k = 0, 1, 2, ... (2.3)
починаючи з наближення x (0) .
ЗАТВЕРДЖЕННЯ: 1 Якщо послідовність {x (k) } методу простої ітерації сходиться і функція П† неперервна, то межа послідовності є коренем рівняння x = П† (x)
ДОКАЗ: Нехай
. (2.4)
Перейдемо до межі в рівність x (k +1) = П† (x (k) ) Отримаємо з одного боку по (2.4), що а з іншого боку в силу безперервності функції П† і (2.4)
.
В результаті отримуємо x * = П† (x * ). Отже, x * - корінь рівняння (2.2), тобто X = x * . p> Щоб користуватися цим затвердженням потрібна збіжність послідовності {x (k) }. Достатня умова збіжності дає:
ТЕОРЕМА 2.1: (про збіжності) Нехай рівняння x = П† (x) має єдиний корінь на в...
