План
Введення
Глава 1. Поняття групи
§1. Визначення групи
§2. Різновиди груп
§3. Дія групи на безлічі
§4. Групи симетрій
Глава 2. Лемма Бернсайда про кількість орбіт
§1. Формулювання і доказ
§2. Задачі про розмальовках
Висновок
Література
Введення
Правильні багатогранники відомі людству з давніх часів. Так, наприклад, нещодавно в Шотландії при розкопках були виявлені камені, ограновані у вигляді всіх п'яти правильних багатогранників. Ці знахідки відносять до другого тисячоліття до нашої ери.
Перша письмова згадка про правильних многогранниках належить грекам. Піфагорійцям були відомі тетраедр, куб і октаедр. Опис додекаедра і ікосаедра приписується Теетет Афінському (початок IV ст. До н.е.); він же довів, що інших правильних багатогранників не існує.
Самий термін «група» належить французькому математику Галуа - справжнього творцеві теорії груп. Ідеї ??теорії груп «носилися» у повітрі задовго до Галуа, і деякі з її теорем в наївній формі були доведені ще Лагранжем. Геніальні роботи Галуа виявилися незрозумілими, і відродження інтересу до них почалося тільки після книги Жордана «Курс теорії перестановок і алгебраїчних рівнянь» (1870р.).
Групи симетрії багатогранників вивчалися багатьма математиками і кристаллографами. Після того, як Лежандр (1833) вперше ввів математичне поняття симетрії в геометрію, Р.-Ж. Гаюї застосував це поняття в кристалографії. Надалі вивчення можливих видів симетрії багатогранників було продовжено І.Ф.Х. Гесселем і О.Браве.
Глава 1. Поняття групи
§1. Визначення групи
Розглянемо безліч G всіх n? n-матриць з речовими коефіцієнтами і з відмінним від нуля визначником.. Видно, що А, B далі, (АВ) C=А (ВC) і існує виділена матриця Е така, що АЕ== ЕА=А для всіх А. Крім того, у кожної матриці А є «антипод» - зворотна матриця, для якої А=А=Е.
Безліч G розглядається разом з законом композиції (бінарної операцією) (А, В) і зване повної лінійної групою ступеня n над R, можна було б коротко визначити, як подмоноід всіх оборотних елементів моноїд.
Нехай Х - довільна множина. Бінарної алгебраїчній операцією на Х називається довільне (але фіксоване) відображення декартова квадрата Найчастіше бінарну операцію на Х позначають яким-небудь спеціальним символом:
Бінарна операція на множині Х називається асоціативної, якщо
Безліч Х із заданою на нім бінарної асоціативної операцією називається полугруппой. Напівгрупу з одиничним (нейтральним) елементом прийнято називати ще моноїд.
Як і для всякого безлічі, потужність моноїд М=(М,) позначається символом Card M або.
Підмножина напівгрупи S з операцією називається подполугруппой, якщо х для всіх x, у. У цьому випадку говорять ще, що підмножина S замкнуто щодо операції (М,) - моноїд, а підмножина не тільки замкнуто щодо операції, а й містить одиничний елемент, то
Визначення. Моноїд G, всі елементи якого оборотні, називається групою. Іншими словами, передбачаються виконаними наступні аксіоми:
(G0) на множині G визначена бінарна операція: (х, у) ху
(G1) операція асоціативна: (ху) z=х (Уz) для всіх х, у, z G;
(G2) G має нейтральним (одиничним) елементом е: хе=ех=х для всіх x G
(G3) для кожного елемента x G існує зворотний
§2. Різновиди груп
Група з Комутативність називається комутативної, а ще частіше - абельовой. Майже все сказане вище про моноїд переноситься на групи.
Підмножина Н G називається підгрупою в G, якщо e H; H H і. Підгрупа власна, якщо
Наведемо кілька прикладів груп.
У повній лінійної групі G (R) розглянемо підмножина S (R) матриць з визначником 1:
S (R)={}.
E.. (R) підгрупа в; вона носить назву спеціальної лінійної групи ступеня п над R. Її називають ще й унімодулярной групою.
Використовуючи раціональні числа замість речових, ми прийдемо до повної лінійної групі ступеня n над Q і до її підгрупі S (Q). У свою чергу S (Q) cодержит підгрупу S (Z) цілочисельних матриць з визначником 1. S (Z) - також є групою. Частково впорядкована множина розглянут...
