их підгруп групи G (R) зображується діаграмою.
Поклавши в прикладах 1) і 2) n=1, ми прийдемо, по-перше, до мультиплікативним групам
речових і раціональних чисел. Ці групи нескінченні. Так як в (Z,?, 1) оборотними елементами є тільки 1 і - 1, то={± 1). Далі, S (R)=S (Q)=S (Z)=1. Але вже при п=2 група S (Z) нескінченна: їй належать, наприклад, всі матриці
Нескінченні адитивні групи:
Циклічні групи.
Нехай G - мультиплікативна група (т. е. з операцією множення), а - її фіксований елемент. Якщо будь-який елемент g записується у вигляді для деякого n Z, то кажуть, що - циклічна група з утворюючим а (або циклічна група, породжена елементом а). Аналогічно циклічна група визначається в аддитивном разі:. Це, звичайно, не означає, що всі елементи ап або па попарно різні. Домовимося в позначенні і переконаємося в справедливості наступного твердження.
Теорема 1: Які б не були m, n,
(відповідно
Доказ: При невід'ємних m, n. Якщо
.
При маємо
(або).
Аналогічно розглядається випадок
Рівність (ат) п=атп випливає з попереднього і досить очевидно з визначення ступенів.
Найпростішим прикладом циклічної групи служить адитивна група цілих чисел (Z, +, 0), породжена звичайної одиницею 1 або 1. Множина {1, - 1} є по множенню циклічної групою порядку 2.
Нехай знову G - довільна група, а - деякий її елемент. Є дві можливості: 1) Усі ступеня елемента а різні, .т. е.. У цьому випадку говорять, що елемент а має нескінченний порядок. 2) Є збіги ат=ап прі. Якщо, наприклад, т gt; п, то т. е. існують позитивні ступеня елемента а, рівні одиничного елементу. Нехай q- найменший позитивний показник, для якого=е. Тоді кажуть, що а - елемент кінцевого порядку q. У кінцевій групі G (Card G lt;?) Всі елементи, зрозуміло, будуть кінцевого порядку.
§3. Дія групи на безлічі
Група G діє (ліворуч) на множині X, якщо для будь-яких елементів g і х X визначений елемент GХ X, причому g2 (g1х)=(g2 g1) х і ех=х для всіх х X , g1, g2 G. Множествох={gx | g G}
називається орбітою елемента х. Орбіти будь-яких двох елементів з X або збігаються, або не перетинаються, так що безліч X розбивається на непересічні орбіти. Якщо орбіта одна - все безліч X, то кажуть, що С діє транзитивно на X. Інакше кажучи, група G діє транзитивно на множині X, якщо для будь-яких двох елементів х, х з X знайдеться елемент g з G такий, що GХ=х .
Стабілізатором елемента х з X називається підгрупа
StG (x)={g G | GХ=х}.
Безліччю нерухомих точок елемента g з G називається множина
Fiх (g)={х X | GХ=х}.
Потужності орбіти дорівнює індексу стабілізатора в групі G.
Приклад:
Нехай К - фіксований куб в тривимірному евклідовому просторі, G - група всіх рухів цього простору, що зберігають орієнтацію і переводять К в К. У групі G є тотожний рух, обертання на 120 ° і 240 ° навколо чотирьох осей, що проходять через протилежні вершини куба, обертання на 180 ° навколо осей, що проходять через середини протилежних ребер, і обертання на 90 °, 180 ° і 270 ° навколо осей, що проходять через центри протилежних граней. Отже, ми знайшли 24 елемента в групі G. Покажемо, що інших елементів у G немає. Група G діє транзитивно на безлічі К0 вершин куба К, оскільки будь-які дві вершини з К можна «з'єднати ланцюжком сусідніх», а сусідні можна перевести один в одного відповідним обертанням. Стабілізатор вершини x повинен залишати на місці також найбільш віддалену від неї вершину х laquo ;. Тому він складається з тотожного руху і обертань навколо осі хх на 120 ° і 240 °. Отже, | G |=| До ° | | |=8 3=24 і, значить, всі зазначені вище обертання складають групу G.
Група G називається групою обертань куба. Доведемо, що Обертання з G переставляють чотирьох найдовших діагоналі куба. Виникає гомоморфізм:?: G?. Ядро цього гомоморфізму одно {е}, так як тільки тотожний рух залишає кожну діагональ куба на місці. Тому G ізоморфна підгрупі групи. Порівнюючи порядки цих груп, отримуємо, що G.
§4. Групи симетрій
Одним з найбільш вживаних прикладів груп і, зокрема, груп перестановок, є групи, якими «вимірюється» симетричність геометричних фігур як плоских, так і просторових.
Група симет...
