Зміст
гра матричний позиційний рівновагу
Введення
. Необхідні відомості про матричних і антагоністичних іграх
.1 Поняття антагоністичної і матричної гри
1.2 Принципи оптимальності в матричних іграх
1.3 Змішане розширення ігри
. Позиційні ігри
2.1 Поняття позиційної гри, дерева гри та інформаційного безлічі
.2 Приклади
. Позиційні антагоністичні гри з повною інформацією
3.1 Поняття позиційної гри з повною інформацією
3.2 Нормалізація позиційної гри з повною інформацією
.3 Теорема Цермело
3.4 Приклади
. Позиційні антагоністичні гри з неповною інформацією
4.1 Поняття позиційної гри з неповною інформацією
4.2 Нормалізація позиційної гри з неповною інформацією
4.3 Приклади
. Необхідні відомості про біматричних іграх
. 1 Поняття біматричних ігри
. 2 Принцип максимина і принцип рівноваги. Оптимальність за Парето
. Позиційна неантагоністичний гра. Її властивості
Висновок
Список літератури
Введення
В якийсь конфліктної ситуації рішення приймається не одним індивідуумом, а кількома учасниками, і функція виграшу кожного індивідуума залежить не тільки від його стратегії, але також і від рішень інших учасників. Математична модель такого роду називається грою, а учасники конфлікту гравцями.
Якщо гравців двоє, а інтереси їх протилежні, то гра називається антагоністичною.
На практиці учасники конфліктів часто здійснюють свій вибір не один раз і на завжди, а послідовно у часі, залежно від розвитку конфлікту. Одним з класів ігор, які описують конфлікти, динаміка яких впливає на поведінку учасників, є позиційні гри.
1. Необхідні відомості про матричних і антагоністичних іграх
. 1 Поняття антагоністичної і матричної гри
Нехай функція визначена на декартовому добутку, де - безлічі довільної природи.
Визначення 1. Пара називається сідловою функції на, якщо
або, еквівалентно,
Опишемо антагоністичну гру. У ній беруть участь два гравці - 1 і 2. Гравець 1 вибирає стратегію з безлічі стратегій, гравець 2 вибирає стратегію з безлічі стратегій. Задана функція виграшу першого гравця, визначена на. Виграш першого гравця є програшем для другого. Метою першого гравця є збільшення, а метою другого - зменшення. Таким чином, антагоністична гра задається набором.
Визначення 2. Кажуть, що антагоністична гра має рішення, якщо функція має на седловую точку. Нехай - сідлова точка функції. Тоді трійка називається рішенням гри, - оптимальними стратегіями гравців, - значенням (ціною) гри.
Так само називають ситуацією рівноваги (рівновагою Неша) у грі Г.
Лемма 1. Якщо, - дві сідлові точки функції на, то, тобто ціна гри не залежить від вибору седловой точки.
Визначення 3. Антагоністична гра Г називається матричної, якщо множини стратегій гравців кінцеві:. При цьому прийнято позначати стратегію першого гравця через, стратегію другого через, а виграш першого через. Матриця називається матрицею гри. Перший гравець вибирає в ній номер рядка, а другий - номер стовпця.
У позначеннях матричної гри - сідлова точка матриці A, якщо
. 2 Принципи оптимальності в матричних іграх
Визначення 4. Стратегія першого гравця називається максиминной, якщо. При цьому величина називається нижньою ціною гри.
Визначення 5. Стратегія другого гравця називається мінімаксної, якщо. При цьому величина називається верхньою ціною гри.
Далі будемо вважати, що множини кінцеві.
Позначимо, де - кількість рядків матриці А ігри Г, а - кількість стовпців.
У позначеннях матричної гри і враховуючи, що і, тому на функція досягає свого найменшого та найбільшого значення, то визначення 4 і 5 можна записати в наступному вигляді.
Визначення 4. Стратегія першого гравця називається максиминной, якщо. При цьому величина називається нижньою ціною гри.
Визначення 5. Стратегія другого гравця називається мінімаксної, якщо. При цьому величина називається верхньою ціною гри.
Лемма 2. У будь антагоністичної грі Г справедливо нерівність
