)
Границя в (4) існує, ЯКЩО має місце хочай б одна з Наступний умів:
В· ,,; p> В· ,,; p> В· ,,, И Деяка.
У задачі (4) - (5) может буті Уведені Додаткове обмеження на стан системи,. У такому разі, ЯКЩО, позначатімемо. <В
3. Оптимальне стохастичную Керування: зліченній простір збурень
Розглянемо відображення, что завданні формулою
, (6)
за таких припущені:
параметр пріймає Значення Зі зліченної множини з заданість розподілом ймовірностей, что залежався від і; Функції и відображають множини відповідно в множини І, тоб,; скаляр додатний.
Если ,, - Елєменти множини, - довільній Розподіл ймовірностей на, а - Деяка функція, то математичне сподівання візначається за формулою
,
де , p>,
.
Оскількі , То математичне сподівання визначене для будь-якої Функції и будь-якого розподілу ймовірностей на множіні. p> Зокрема, ЯКЩО,, ... - Розподіл ймовірностей на множіні, то формулу (6) можна переписати так:
В
При вікорістанні цього співвідношення треба пам'ятати, что для двох функцій, Рівність має місце, ЯКЩО віконується хочай б одна з трьох умів:
ту;
ту;
та.
Відображення задовольняє припущені монотонності. Если функція - тотожня нуль, тоб,, то за умови,, функцію витрат за кроків можна податі у вігляді:
(7)
де ,. p> Ця Умова означає, что математичне сподівання обчіслюється послідовно по всех Випадкове величинах.
При цьом зміна порядку операцій додавання и узяття математичного сподівання Припустиме, ТОМУ ЩО,, и для довільніх простору з мірою, вімірної Функції и числа має місце Рівність.
Если віконується одна з двох нерівностей
або
,
то функцію витрат за кроків можна Записати у вігляді:
,
де математичне сподівання обчіслюється на добутку мір на, а стани,, віражаються через помощью рівняння.
Если функція допускає Подання у такому вігляді для будь-якого початкова стану та будь-якої стратегії, то-Крокова завдання может буті сформульована так:
, (8)
. (9)
Відповідна завдання з нескінченнім горизонтом формулюється так:
, (10)
. (11)
Границя в (10) існує при віконанні будь-якої з трьох Наступний умів:
В· ,,,; p> В· ,,,; p> В· ,,,, и Деяк.
Математичне сподівання візначається І як звичайний інтеграл, І як зовнішній інтеграл з-алгеброю в множіні, что Складається Із всех підмножін, в залежності від вімірності або невімірності функцій.
Для багатьох практичних завдань віконується припущені про зліченність множини.
Если ж множини незліченна, то праворуч ускладнюється необхідністю обчислення математичного сподівання
В
для будь-якої Функції. Подолання ціх труднощів и пов'язане з використаних зовнішнього інтеграла.
