Тема 1. Межа функції
Число А називається межею функції при , Що прагнуть до, якщо для будь-якого позитивного числа (> 0) знайдеться таке позитивне число> 0 (залежне в загальному випадку від), що для всіх, не рівних і задовольняють умові xx <, виконується нерівність XА x <.
Для межі функції вводиться позначення = А.
Межі функцій володіють наступними основними властивостями:
Функцію не може мати більше одного межі.
Якщо = С (постійна), то С.
Якщо існує А, то для будь-якого числа вірно:
В
Якщо існують А і В, то = АВ, а якщо В0, то
.
Операція граничного переходу перестановочне з операцією обчислення неперервної функції, тобто справедлива формула
Якщо функція неперервна в точці, то шуканий межа дорівнює значенню функції в цій точці, тобто він знаходиться безпосередній підстановкою граничного значення змінної замість аргументу:
Функція (називається нескінченно малою величиною при, якщо її межа дорівнює нулю: Функція називається нескінченно великою величиною при, якщо
Приклад 1. 9. br/>
Приклад 2. . br/>
У розглянутих прикладах межа знаходився відразу: у вигляді числа або символу (нескінченність). Але частіше при обчисленні меж ми зустрічаємося з невизначеностями, коли результат знаходження межі не ясний, наприклад, у випадку відносини двох нескінченно малих функцій (умовне позначення) або нескінченно великих (). Крім названих зустрічаються невизначеності виду
Для розкриття невизначеностей використовуються спеціальні прийоми і два наступні межі, які відіграють особливу роль в математиці і тому називаються чудовими:
- перший чудовий межа
-другий чудовий межа (число Ейлера).
Приклад 3. . br/>
Рішення. Безпосередньою підстановкою переконуємося, що маємо справу з невизначеністю виду:
.
Для розкриття невизначеності розкладемо чисельник і знаменник на множники. Знайдемо коріння многочлена, що стоїть в чисельнику. Для цього складемо рівняння другого ступеня і знайдемо його рішення:
В
Тоді для квадратного тричлена справедливо розкладання на множники
.
Аналогічні дії виконаємо для многочлена, що стоїть в знаменнику.
Рівняння має рішення
В
і знаменник представляється у вигляді:
Скоротимо дріб на множник і обчислимо її при
В
Приклад 4. br/>
Рішення. Безпосередньою підстановкою переконуємося, що виникає невизначеність виду. Для розкриття невизначеності помножимо чисельник і знаменник на вираз, що є зв'язаним до знаменника
В
=.
Приклад 5. . br/>
Рішення. Маємо невизначеність виду. Розділимо чисельник і знаменник на (у більш загальному випадку, коли чисельник і знаменник представляють многочлени різних ступенів, ділять на з найбільшим показником ступеня чисельника і знаменника). Використовуючи властивості меж, отримаємо:
.
Приклад 6. . br/>
Рішення. При маємо невизначеність виду. Уявімо, розділимо і помножимо чисельник і знаменник на числа 2, 5 і, тоді межа перетвориться до виду:
.
Користуючись властивостями меж і першим чудовим межею, далі маємо:
.
Приклад 7. . br/>
Рішення. Маємо невизначеність виду [], так як
, а. br/>
Виділимо у дробу цілу частину
.
Введемо нову змінну і висловимо звідси через:. Тоді
В
Зауважимо, що при змінна. Тепер, переходячи до нової змінної і використовуючи другий чудовий межа, отримаємо:
В
=.
Невизначеності виду шляхом алгебраїчних перетворень наводяться до виду. Невизначеності виду, можна розкрити, попередньо Прологаріфміровав відповідну функцію. Невизначеності виду можна виключити, використовуючи правило Лопіталя, яке викладено в кінці теми 2.
Приклад 8. Початковий внесок у банк склав грошових одиниць. Банк виплачує щорічно% річних. Необхідно знайти розмір вкладу через років при безперервному нарахуванні відсотків. Вирішити завдання при = 10, = 5%, = 20 років. p> Рішення. При% річних розмір вкладу щорічно буде збільшуватися в
разів, тобто . br/>
Якщо нараховувати відсотки за вкладами не один раз на рік, а раз, то розмір вкладу за років при нарахуваннях складе
.
Тоді розмір вкладу за років при безперервному нарахуванні відсотків () зводиться до знаходження межі
.
Тут при рішенні використовувався другий чудовий межа.
Підставляючи вихідні числові дані завдання, отримуємо
(ден. одиниць).
Питання для самоперевірки
Дайте визначення границі функції в точці.
Назвіть основні властивості границь функцій.
Які ви...
