ди невизначеностей зустрічаються при знаходженні меж?
Які межі називаються чудовими?
Які функції називають нескінченно малими?
Завдання для самостійної роботи
Знайти межі наступних функцій:
Номер варіанта
А)
Б)
1
В В
2
В В
3
В В
4
В В
5
В В
6
В В
7
В В
8
В В
9
В В
10
В В
Таблиця 1.
Тема 2. Похідна функції
прирощення функції в точці, відповідним приросту аргументу, називається число . p> Похідній функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при, якщо ця межа існує, і позначається:
.
Знаходження похідної функції називається диференціюванням цієї функції. Якщо функція має в точці кінцеву похідну, то функція називається диференційованою в цій точці.
Найважливішими правилами диференціювання є наступні.
Похідна постійної дорівнює нулю:.
Постійна множник виноситься за знак похідної
.
Похідна суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій
.
Похідна твори двох диференційовних функцій дорівнює добутку похідної першого множники на другий плюс твір першого множники на похідну другого
.
Похідна приватного двох диференційовних функцій знаходиться за формулою
.
Нехай мінлива є функція від змінної (наприклад,), а змінна, у свою чергу, є функція від незалежної змінної (), інакше задана складна функція.
Якщо і - диференціюються від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює похідній даної функції з проміжного аргументу, помноженої на похідну самого проміжного аргументу за незалежною змінної:
В
Якщо функція, похідну якої потрібно знайти, представляє з себе комбінацію елементарних функцій, то для обчислення похідної застосовуються правила диференціювання і таблиця похідних елементарних функцій, що приводиться нижче. br/>
Таблиця 2.
№
функція
похідна
№
функція
похідна
1
В В
7
В
1/
2
В В
8
В
-1/
3
В
1/
9
В
1/()
4
В В
10
В
-1/()
5
В В
11
В
1/(1 +)
6
В
-
12
В
-1/(1 +)
В
Приклад 1. Знайти похідну функції
.
Рішення. Уявімо її як складну функцію. Нехай, тоді й. Знайдемо похідну по проміжному аргументу як статечної функції
.
У свою чергу, проміжний аргумент представляється у вигляді суми двох статечних функцій мінус стала, тому, використовуючи правила 1-3, по-лучім
В
=.
Звідси похідна шуканої функції
.
Приклад 2. Знайти похідну функції
.
Рішення. Позначимо,. Тоді й шукана похідна знаходиться з формули.
Похідну знаходимо з таблиці похідних елементарних функцій
.
Другий співмножник являє похідну від статечної функції
В
Нарешті, остання похідна знаходиться за правилами диференціювання приватного
В
==.
У підсумку отримуємо шукану похідну
.
Приклад 3. Наити похідну
.
Рішення. Похідна суми двох функцій є сума їх похідних
.
Для знаходження похідної першого доданка позначимо,.
Тоді,
В
=
Похідну другого доданка знайдемо за правилом диференціювання статечно-показовою функції. Прологаріфміруем функцію: Диференціюючи ліву і праву частину отриманої рівності
В
