Курсова робота на тему: "Опис та тіпологія Коливань"
В
Зміст
Введення
Вільні одномірні коливання
Змушені коливання
коливання систем з багатьма ступенями Волі
Загасаючі коливання
Змушені коливання при наявності тертим
Висновок
Література
В
Введення
Робота Присвячую вивченню різніх Коливань. Механіка ї акустика, радіофізіка ї оптика, квантова фізика й фізика твердого тіла - усюди ми зіштовхуємося з коливання. Єдиний підхід до Вивчення Коливань Заснований на спільності рівнянь, что опісують колівальні закономірності, дозволяє віявіті глібокі зв'язки между різнімі, на перший погляд, явищем. Таким чином, Вивчаючи коливання, ми будемо звертати УВАГА НЕ Тільки на ті, что В«хвілюєтьсяВ» І що В«коліваєтьсяВ», а Головним чином на ті, як і чому відбуваються коливання.
В
Вільні одномірні коливання
Дуже Розповсюдження тип руху механічніх систем являютя собою, так звані Малі коливання, Які система Робить Поблизу свого положення стійкої рівновагі. Розгляд ціх рухів ми почнемо з найбільш простого випадка, коли система має Всього один ступінь Волі.
Стійкій рівновазі відповідає таке положення системи, у якому ее потенційна енергія U (q) має мінімум; відхілення від такого положення приводити до Виникнення сили - dU/Dq, что прагнем Повернути систему тому. Позначімо відповідне Значення узагальненої координати за помощью q0. При малих відхіленнях від положення рівновагі в розкладанні різніці U (q)-U (q0) по щаблях q - q0 й достатньо Зберегти перший незнікаючій член. У загально випадка таким є член іншого порядку
В
де k - позитивний коефіцієнт (Значення Другій похідній U "(q) при q = q0). Будемо надалі відраховуваті потенційну Енергію від ее мінімального значення (тоб покладемо U (q0) = 0) i введемо позначені
x = q - q 0 (1, 1)
для відхілення координат та від ее рівноважного значення. Таким чином,
U (x) = kx 2/2 . (1,2)
Кінетічна енергія системи з одним щаблем Волі має в загально випадка вид
В
У ТІМ ж набліженні й достатньо замініті функцію a (q) просто ее значення при q = q 0 . Уводячи для стіслості позначені
В
одержимо остаточно Наступний вираженною для лагранжевої Функції системи, что Робить одномірні Малі коливання:
(1,3)
Відповідної цієї Функції рівняння руху говорити:
(1,4) або
(1,5)
де Уведені позначені
(1,6)
Два незалежних решение лінійного діференціального рівняння
(1,5): cos? t и sin? t, так что его загальне решение
(1,7)
Це вираженною может буті Написане такоже и у вігляді
(1,8)
Оскількі cos (П‰t + О±) = cos П‰t cos О± - sin П‰t sin О±, ті порівняння з (1,7) показує, что довільні постійні пов'язані з постійнімі співвідношеннямі
(1.9)
Таким чином, Поблизу положення стійкої рівновагі система Робить гармонійній колівальній рух. Коефіцієнт а при періодічному множніку в (1,8) назівається амплітудою Коливань, а аргумент косинуса - їхньою фазою ; а є Початкове Значення фази, что поклади, мабуть, від Вибори качану відліку годині. Величина П‰ назівається ціклічною частотою Коливань; у теоретічній фізіці, втім, ее назівають звичайна просто частотою , что мі ї будемо делать надалі.
Частота є основною характеристикою Коливань, что НЕ поклади від початкових умов руху. Відповідно до формули (1,6) вона Цілком візначається властівостямі механічної системи як Такої. Підкреслімо, однак, что ця властівість частоти пов'язане з передбачуваності малістю Коливань и знікає при переході до больше високих набліжень. З математичної точки зору воно пов'язане Із Квадратичне залежністю потенційної ЕНЕРГІЇ від координат.
Енергія системи, что Робить Малі коливання, є
В
або, підставівші сюди (21,8):
(1,10)
Вона пропорційна квадрату амплітуді Коливань.
Залежність координат та колівної системи від годині часто віявляється ЗРУЧНИЙ представляті у вігляді речовінної Частини комплексного вираженною
(1,11)
де А - комплексна Постійна; написавши ее у вігляді
A = ae ia , (1,12)
ми повернемося до вираженною (1,8). Постійну А назівають комплексною амплітудою ; ее модуль збігається Зі звичайна амплітудою, а аргумент - з початкових фазою.
оперування з експонентнімі множнікамі в математичность відношенні простіше, чем Із трігонометрічнімі, ТОМУ ЩО діференціювання НЕ міняє їхнього виду. При цьо...
