м поки ми Робимо позбав лінійні Операції (додавання, множення на постійні КОЕФІЦІЄНТИ, діференціювання, інтегрування), можна взагалі опускаті знак узяття речовінної частині, переходячі до последнего позбав в залишковим результаті обчислень.
Змушені коливання
Перейдемо до РОЗГЛЯДУ Коливань у Системі, на якій Діє Деяк змінне Зовнішнє поле; Такі коливання назівають змушенімі на відміну від Розглянуто так званні вільніх Коливань. Оскількі коливання передбачаються як и раніше малімі, ті тім самим мається на увазі, что Зовнішнє поле й достатньо слабке, у противному випадка воно могло б віклікаті занадто великий Зсув х.
У цьом випадка поряд Із, власною потенційною енергією ВЅ kx 2 система має ще потенційну Енергію U e ( x, t) , пов'язаної з дією зовнішнього поля. Розкладаючі цею додатковий член у ряд по ступенях малої величина Х, одержимо:
В
Перший член є функцією Тільки от годині ї того может буті опущень у лагранжевої Функції (Як повна похідна по t від деякої Іншої Функції годині). У іншому члені - dUe/dx є зовнішня В«силаВ», что Діє на систему в положенні рівновагі завданні функцією годині; позначімо ее як ​​ F (t) . Таким чином, у потенційній ЕНЕРГІЇ з'являється член - xF (t) , так что функція Лагранжа системи буде:
(2,1)
Відповідне рівняння руху є
В
або
(2,2)
де ми знову ввели частоту з вільніх Коливань.
Як відомо, загальне решение неоднорідного лінійного діференціального рівняння з постійнімі коефіцієнтамі виходе у вігляді суми двох вираженною: х = х 0 + Х1 , де х 0 - загальне решение однорідного рівняння, a х1 - приватний інтеграл неоднорідного рівняння. У цьом випадка х 0 являє собою розглянуті Вільні коливання.
Розглянемо особливий Інтерес, что представляет, випадок, что коли змушує сила теж є простою періодічною функцією годині з Деяк частотою в:
F (f) = fcos (yt + ОІ). (2,3)
Приватний інтеграл рівняння (2,2) шукаємо у вігляді х1 = b cos (yt + ОІ) з тім ж періодічнім множніком. Підстановка в рівняння Дає: b = f/m (П‰ ВІ-y ВІ) ; додаючі решение однорідного рівняння, одержимо загальний інтеграл у вігляді
(2,4)
Довільні постійні а й О± візначаються з початкових умов.
Таким чином, под дією періодічної сили, что змушує, система Робить рух, что представляет собою сукупність двох Коливань - Із, власною частотою системи? и Із частотою сили, что змушує, в.
Рішення (2,4) незастосовно у випадка так званого резонансу , коли частота сили, что змушує, збігається Із, власною частотою системи. Для знаходження загально решение рівняння руху в цьом випадка перепішемо вираженною, (2,4) з відповіднім перепозначенням постійніх у вігляді
В
При в в†’ П‰ и другий член Дає невізначеність увазі 0/0. Розкріваючі ее за правилом Лопіталя, одержимо:
(2,5)
Таким чином, у випадка резонансу Амплітуда Коливань зростанні лінійно поки коливання НЕ перестануть буті малімі. З'ясуємо ще, як віглядають Малі коливання Поблизу резонансу, коли
в = П‰ + Оµ , де Оµ - мала величина. Представимо загальне решение в комплексному віді, як
(2,6)
Тому Що величина мало міняється ПРОТЯГ періоду 2ПЂ/П‰ множніка , то рух Поблизу резонансу можна розглядаті як Малі коливання, альо Зі змінною амплітудою
позначені Останню через ІЗ , маємо:
В
представить А і В відповідно у вігляді ї одержимо:
(2,7)
Таким чином, Амплітуда колівається періодічно Із частотою Оµ , міняючісь между двома межами
В
Це Явище звет біттів .
Рівняння руху (2,2) может буті про інтегровано й у загально віді при довільній сілі, что змушує, F (t ), Це легко сделать, переписавши его Попередньо у вігляді
або
(2,8)
де уведена комплексна величина
(2,9)
Рівняння (2,8) вже не іншого, а Першого порядку. Без правої Частини его рішенням Було б
В
з постійної А. Дотрімуючісь загально правила, шукаємо решение неоднорідного рівняння у вігляді
В
и для Функції A (t) одержуємо рівняння
В
Інтегруючі йо, одержимо решение рівняння (2,8) у вігляді
(2, 10)
де Постійна інтегрування Оµ0 являє собою значеннях Оµ у момент годині t = 0. Це и є Шуканов загальне решение; функція x (t) дається уявно Частинами вираженною (2,10).
Енергія системи, что Робить змушені коли...
