Зміст
1. Постановка завдання
2. Рівняння нерозривності
3. Рівняння руху в'язкої рідини в формі Нав'є-Стокса
4. Стале ламінарне протягом між паралельним площинами
5. Перебіг Куетта
6. Перебіг Пуазейля
7. Загальний випадок перебігу між паралельними стінками
8. Приклад завдання
Список використаної літератури
1. Постановка завдання
Ламінарні течії, деякі з яких розглянуто в даному курсовому проекті, зустрічаються в різноманітних технічних завданнях, зокрема, в зазорах і малих порожнинах машин. Особливо при течії таких в'язких рідин як масло, нафта, різні рідини для гідропередач утворюються стійкі ламінарні течії, для опису яких надійною базою можуть послужити рівняння Нав'є-Стокса. Перебіг Гартмана, подібне течією Пуазейля, застосовується, до Приміром, у МГД-насосах. У цьому випадку розглядається плоске стаціонарне протягом електропровідний рідини між двома ізольованими пластинами в поперечному магнітному полі.
Задача даного курсового проекту - розгляд і знаходження основних характеристик плоского стаціонарного ламінарного течії в'язкої нестисливої вЂ‹вЂ‹рідини при параболічному розподілі швидкостей (течії Пуазейля).
2. Рівняння нерозривності
Закон збереження маси для рухомої довільним чином рідини виражається рівнянням нерозривності або суцільності, яке є одним з фундаментальних рівнянь гідромеханіки. Для його виводу проведемо в рідині фіксовану в просторі замкнуту поверхню S, обмежуючу обсяг W, і виділимо на ній елементарну площадку dS. Через n позначимо одиничний вектор зовнішньої до S нормалі. Тоді твір СV n dS буде являти собою масу, витікаючу з обсягу W або надійшла в нього за одиницю часу, в залежності від напрямку швидкості на майданчику dS. Так як n зовнішня нормаль, то V п > 0 на тих майданчиках dS, де рідина витікає з об'єму W, і V п <0 на тій частині поверхні S, через яку вона втікає в цей обсяг. Отже, інтеграл являє собою різницю мас рідини, що витекла з обсягу і надійшла до нього за одиницю часу.
Ця зміна маси можна підрахувати і іншим способом. Для цього виділимо елементарний об'єм dW. Маса рідини в цьому обсязі може змінюватися через неоднаковості припливу і відтоку. Секундне зміна маси в обсязі dW дорівнюватиме а секундне зміна маси в обсязі W виразиться інтегралом.
Утворені вираження можна прирівняти, так як вони дають одну і ту ж величину. При цьому слід врахувати, що перший інтеграл позитивний, коли через поверхню S випливає рідини більше, ніж втікає, а другий при цьому ж умови - від'ємний, оскільки зважаючи суцільності течії в розглянутому в розглянутому випадку щільність зменшується в часі.
(1)
За теоремою Остроградського - Гаусса:
В
У векторному аналізі сума приватних похідних від проекцій вектора по однойменних координатах називається дивергенцією або розбіжністю вектора. У даному випадку
В
тому рівняння (1) можна переписати у вигляді
В
Так як обсяг W довільний, подинтегральная функція дорівнює нулю, тобто
(2)
Рівняння (2) є рівнянням нерозривності в диференціальної формі для довільного руху стисливої вЂ‹вЂ‹рідини. Співвідношення (1) можна розглядати як інтегральну форму рівняння нерозривності.
Якщо будемо розглядати умова збереження маси рухомого рідкого обсягу, то прийдемо також до рівняння (2), якому в цьому випадку можна надати інший вигляд.
Оскільки з = С (x, y, z, t) і при русі рідкого обсягу х = Х (t),
у = у (T), z = Z (T), то
В В В
т. е. рівняння (2) буде мати вигляд
В
або
(3)
де dс/dt - повна похідна щільності.
Для усталеного руху стисливої вЂ‹вЂ‹рідини ∂ с/∂ t = 0 і. отже, з рівняння (2) отримуємо
(4)
Для будь-якого руху нестисливої вЂ‹вЂ‹рідини з = const і, отже
(5)
В
3. Рівняння руху в'язкої рідини у формі Нав'є-Стокса
Рівняння руху рідини в напружених:
В
(6)
В
Згідно законом Ньютона в'язкісні напруги при прямолінійному русі рідини пропорційні швидкостям кутових деформацій. Узагальненням цього факту на випадок довільного руху є гіпотеза про те, що дотичні напруження, а також залежать від орієнтації майданчиків частини нормальних напружень пропорційні відповідним швидкостям деформацій. Іншими словами, передбачається у всіх випадках руху рідини лінійна зв'язок між вязкостнимі напруженнями і швидкостями деформацій. При цьому коефіцієнт пропорційності у формулах, що виражають цей зв'язок, має бути динамічний коефіцієнт в'язкості м. Скориставшись гіпотезою, що в точці рідини (вона побічно підтверджується на практиці), можна написати вирази для нормальних і дотичних на...
