пружень у в'язкій рідині:
В В В
(7)
В В
Вносячи в рівняння (6) вирази (7), отримаємо
В В В
Групуючи члени з другими похідними, ділячи на с і використовуючи оператор Лапласа, запишемо:
В
(8)
В
Ці рівняння називаються рівняннями Нав'є - Стокса; їх використовують для опису рухів в'язких стискуваних рідин і газів.
Рівняння руху нев'язких рідин і газів легко отримати з рівнянь Нав'є - Стокса як окремий випадок при м = const; для нестискуваних рідин слід прийняти з = const.
Система рівнянь Нав'є - Стокса незамкнута, бо містить шість невідомих: V x , V y , V z , р, с і м. Ще одним рівнянням, зв'язує ці невідомі, є рівняння нерозривності (3).
У Як рівнянь, замикаючих систему, використовують рівняння стану середовища та залежності в'язкості від параметрів стану. У багатьох випадках доводиться застосовувати також інші термодинамічні співвідношення.
Для нестисливої вЂ‹вЂ‹рідини div V = 0, отримаємо вирази, безпосередньо наступні з системи (8)
В В В
У векторній формі рівняння Нав'є-Стокса для нестисливої вЂ‹вЂ‹рідини прийме вигляд:
(9)
4. Стале ламінарне протягом між паралельним площинами
Нехай в'язка рідина тече в каналі, утвореному двома паралельними стінками, одна з яких рухається в своїй площині з постійною швидкістю (див. малюнок).
В
а - Схема течії; б - розподіл швидкостей за відсутності градієнта тиску (Протягом Куетта); в - розподіл швидкостей у разі нерухомих граничних площин (течія в плоскому каналі).
Розмір каналу за напрямом нормалі до площини креслення (вздовж осі z) вважаємо досить великим, щоб можна було не враховувати вплив стінок, паралельних площині хОу. Крім того, допускаємо, що рух викликано не тільки переміщенням однієї зі стінок каналу, але і перепадом (або градієнтом) тиску по напрямку осі х. Впливом масових сил нехтуємо, тому що число Фруда мало через малість h, а лінії струму вважаємо прямими, паралельними осі х.
Тоді вихідні умови задачі висловлюємо у вигляді:
В
З рівняння нерозривності відразу укладемо, що а оскільки це буде виконано у всіх точках, то й Зважаючи відсутності руху вздовж осі z всі похідні з цієї координаті також звернуться в нуль, і рівняння Нав'є-Стокса в проекції на вісь z можна не писати.
Тоді система рівнянь руху зведеться до двох рівнянь:
В
Перше виходить з проекції рівняння Нав'є-Стокса на координатну вісь x, а друге з цих рівнянь свідчить, що тиск залежить тільки від х, тобто p (y) = p (z) = 0, і так як то можна перейти від приватних похідних до повних:
В
Позначимо , проинтегрируем це рівняння двічі, одержимо:
В
Так як відповідно з малюнком і прийнятими припущеннями тиск залежить тільки від координати x. Для відшукання постійних інтегрування і використовуємо граничні умови:
В В
Таким чином закон розподілу швидкостей в плоскому каналі запишеться у вигляді:
В
(10)
5. Перебіг Куетта
Перебіг Куетта - безградіентное протягом У цьому випадку єдиною причиною руху служить переміщення пластини. Перебіг характеризується лінійним законом розподілу швидкостей (рис. б).
В
Дотичне (В'язке) напруга буде постійним по товщині шару, а величина питомої витрати, тобто витрати через живе протягом S = h В· 1, увлекаемого рухомої пластиною, дорівнює:
В В
6. Перебіг Пуазейля
Це випадок напірного течії в плоскому каналі з параболічним розподілом швидкостей (рис. в). У відповідності з рівнянням (10) отримаємо:
(11)
Максимальна швидкість на осі (при y = h/2) зважаючи параболічного розподілу швидкостей:
(12)
Розділивши (11) на (12), отримаємо закон розподілу швидкості
В
Неважко обчислити і інші характеристики течії. Дотичне напруження
В
На стінках, т.е при y = 0 і при y = h, приймає максимальні значення
В
А на осі при y = h/2 звертається в нуль. Як видно з цих формул, має місце лінійний закон розподілу дотичних напружень по товщині шару
В
Питома витрата рідини визначиться формулою
В
Середня швидкість
(13)
Середня швидкість буде в півтора рази менше максимальною.
Проінтегрував (13) за х, у припущенні, що при х = 0 тиск р = р 0 * , отримуємо шукану різницю тиску:
В
Неважко також обчислити інтенсивність вихровий складової руху. Оскільки в даному випадку V y = V z = 0 і V x = V, то
В В В
Враховуючи, що dp/dx <0, ми отримай:
В· при y z <0, тобто частинки обертаються за г...
