Гомельська науково-практична конференція школярів з математики, її додатків та інформаційним технологіям В«ПошукВ»
Реферат на тему:
В«Медіани трикутникаВ»
Учнів:
9 'класу державного
установи освіти
В«Гомельська міська
Багатопрофільна гімназія № 14 В»
Морозової Єлизавети
Ходосівського Олесі
Науковий керівник-
Учитель математики вищої категорії
Сафонова Алла Вікторівна
Гомель 2009
Зміст
Введення
1. Медіани трикутника та їх властивості
2. Відкриття німецького математика Г. Лейбніца
3. Застосування медиан в математичній статистиці
4. Медіани тетраедра
5. Шість доказів теореми про медіану
Висновок
Список використаних джерел та літератури
Додаток
Введення
Геометрія починається з трикутника. Ось вже два тисячоліття трикутник є як би символом геометрії, але він не символ. Трикутник - атом геометрії. p> Трикутник невичерпний - постійно відкриваються його нові властивості. Щоб розповісти про всіх відомих його властивостях, необхідний тому порівнянний за обсягом з томом Великої енциклопедії. Ми хочемо розповісти про медіані трикутника і її властивості, а так само про застосування медиан. p> Спочатку згадаємо, що медіана трикутника - це відрізок з'єднує вершини трикутника з серединою протилежного боку. Медіани мають безліч властивостей. Але ми розглянемо одне властивість і 6 різних його доказів. Три медіани перетинаються в одній точці, яка називається центроїдом (центром мас) і діляться у відношенні 2:1.
Існує медіа не тільки трикутника, а й тетраедра. Відрізок, що сполучає вершину тетраедра з центроїдом (точкою перетину медіан) противолежащей грані називається медіаною тетраедра. Ми так само розглянемо властивість медіан тетраедра. p> Медіани використовуються в математичній статистиці. Наприклад, для знаходження середнього значення деякого набору чисел. p> 1. Медіани трикутника та їх властивості
Як відомо, медианами трикутника називаються відрізки, що з'єднують його вершини з серединами протилежних сторін. Всі три медіани перетинаються в одній точці і діляться нею щодо 1:2.
Точка перетину медіан є також центром ваги трикутника. Якщо підвісити картонний трикутник в точці перетину його медіан то він буде перебувати в стані рівноваги
Цікаво, що вcе шість трикутників, на які всякий трикутник розбивається своїми медианами, мають однакові площі.
Медіани трикутника через його боку виражаються так:
,
,
.
Якщо дві медіани перпендикулярні, то сума квадратів сторін, на які вони опущені, в 5 разів більше квадрата третьої сторони.
Побудуємо трикутник, сторони якого рівні медіанам даного трикутника, тоді медіани побудованого трикутника будуть рівні 3/4 сторін первісного трикутника.
Даний трикутник назвемо першим, трикутник з його медіан - другим, трикутник з медіан другого - третім і т. д. Тоді трикутники з непарними номерами (1,3, 5, 7, ...) подібні між собою і трикутники з парними номерами (2, 4, 6, 8, ...) також подібні між собою.
Сума квадратів довжин всіх медиан трикутника дорівнює Вѕ суми квадратів довжин його сторін. p> 2. Відкриття німецького математика Г. Лейбніца
Знаменитий німецький математик Г. Лейбніц виявив чудовий факт: сума квадратів відстаней від довільної точки площині до вершин трикутника, лежачого в цій площині, дорівнює сумі квадратів відстаней від точки перетину медіан до його вершин, складеної з потроєною квадратом відстані від точки перетину медіан до вибраної точки.
З цієї теореми випливає, що точка на площині, для якої сума квадратів відстаней до вершин даного трикутника є мінімальною, - це точка перетину медиан цього трикутника.
У той же час мінімальна сума відстаней до вершин трикутника (а не їх квадратів) буде для точки, з якої кожна сторона трикутника видно під кутом в 120 В°, якщо жоден з кутів трикутника не більш 120 В° (точка Ферма), і для вершини тупого кута, якщо він більше 120 В°.
З теореми Лейбніца і попереднього твердження легко знайти відстань d від точки перетину медіан до центру описаної окружності. Дійсно, це відстань по теоремі Лейбніца дорівнює кореню квадратному з однієї третини різниці між сумою квадратів відстаней від центру описаного кола до вершин трикутника і сумою
Квадратов відстаней від точки перетину медіан до вершин трикутника. Отримуємо, що
.
Точка М перетину медіан трикутника AВС є єдиною точкою трикутника, для якої сума векторів МА, MB і МС дорівнює нулю. Координати точки М (щодо довільних осей) дорівнюють середнім ари...
